ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. 11 класс · Задача 2 · Я тучка, тучка, тучка…

Возможное решение Т-11-2

Рассмотрим перемещение порции одного моля воздуха в атмосфере. В адиабатическом приближении по закону сохранения энергии работа внешнего по отношению к выделенной порции воздуха давления расходуется на изменение внутренней $U$ и потенциальной $\mu gz$. Тогда:

Перегруппировав слагаемые, получаем:

Отсюда получаем зависимость температуры от высоты

Высоту атмосферы можно оценить по высоте, при которой температура воздуха обращается в абсолютный ноль:

Нижняя кромка облаков образуется в точке росы, то есть на такой высоте $h_0$, при которой парциальное давление водяного пара сравнивается с давлением насыщенного пара $P(z)$, учитывая, что на поверхности Земли давление пара $P_0=\varphi P_H(T_0)$.
По законам гидростатики парциальное давление водяного пара с высотой изменяется по закону:

Так как $h_0\ll H$, то можно считать изменения температуры и давления воздуха малыми, поэтому его плотность практически постоянна и равна $\rho\approx P_0\mu_{H_2O}/RT_0$. Тогда давление изменяется по линейному закону:

Используя таблицу зависимости давления насыщенного пара от температуры и зная зависимость температуры от высоты, построим график зависимости давления насыщенного пара от высоты $P_H(z)/P_H(T_0)$. На этой же координатной плоскости построим график зависимости парциального давления водяного пара $P(z)/P_H(T_0)$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет искомой высотой.

Из графиков получаем, что $h_0\approx0.43$ км. Заметим, что на этой высоте парциальное давление паров понизилось примерно на 6% по сравнению с давлением у поверхности Земли, а температура - менее, чем на 2%, что вполне оправдывает наши приближения.

Альтернативное решение Выделим полубесконечный цилиндр воздуха сечением $S$. Рассмотрим небольшую порцию на высоте от $z$ до $z+dz$. Запишем условие равновесия для этой порции:

Из уравнения Менделеева-Клапейрона, уравнения Пуассона в форме $\rho^{1-\gamma}T=const$ и с учетом (1) получаем:

Проинтегрировав, получаем зависимость температуры воздуха от высоты:

Дальнейшее решение полностью совпадает с основным

Примечание: Можно находить зависимость давления от высоты так же через уравнение Пуассона, а затем делать оценку, приравнивая нулю давление на высоте $H$. Зависимость $P(z)$ при этом получается следующая: