Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. 11 класс · Задача 1 · Слинки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Пружину «слинки» удерживают за верхний виток так, что ее нижний виток находится на высоте $h=1$ м над уровнем пола, а длина самой пружины, растянутой силой собственного веса, равна $l=1{,}5$ м. Пружину отпускают. Через какое время $\tau$ она упадёт на пол? В нерастянутом состоянии витки пружины плотно прилегают друг к другу, не оказывая при этом давления друг на друга, а длина пружины составляет $l_0=6$ см. Витки тонкие. При схлопывании пружины витки между собой соударяются неупруго, и к моменту падения она успевает схлопнуться. Ответ дать с точностью 0,02 с.

Фотография подвешенной растянутой пружины слинки. — Рис. 11.1

Решение

Возможное решение Т-11-1

По теореме о движении центра масс время падения пружинки - это время падения тела с высоты $H=h+h_c$ , где $h_c$ - высота центра масс относительно положения нижнего витка висящей пружины. Найдем эту высоту. Пусть жесткость одного витка пружины $k$ , его масса $m$ , число витков в пружине $N$ . Тогда из условия равновесия для $i$ -ого витка получаем:

k\Delta x_i=(i-1)mg\qquad (11.1)

Координата $i$ -ого витка равна

x_i=\sum_{1}^{i}\Delta x_i=\frac{mgi(i-1)}{2k}\qquad (11.2)

Тогда, с учетом того, что число витков $N\gg1$ , получаем:

l=x_N=\frac{mgN(N-1)}{2k}\approx\frac{mgN^2}{2k}\qquad (11.3)

Вычислим координату центра масс:

h_c=\frac1{mN}\sum_1^Nmx_i=\frac1N\sum_1^N\frac{mgi(i-1)}{2k}=\frac1N\left(\frac{mgN^3}{6k}+O(N^2)\right)\approx\frac{mgN^2}{6k}=\frac l3\qquad (11.4)

Время падения пружины

\tau=\sqrt{\frac{2H}g}=\sqrt{\frac{2(h+\frac l3)}g}\approx0.55\text{ с}\qquad (11.5)

Если учесть длину пружины в сжатом состоянии, то поправка на положение центра масс не превысит $l_0$ , а поправка на время падения, соответственно, составит

\frac{\Delta\tau}\tau\approx\frac12\frac{\Delta H}H\approx\frac{l_0}{2(h+\frac l3)}\approx2\%\Rightarrow\Delta\tau=0.01\text{ с}\qquad (11.6)

Оригинал в Архива: finalT17.pdf