ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 6. Задание 9.2. Электрический «серый ящик»

• R₃ = 4,0 кОм; R₄ ≈ 0,5 кОм; 0 < Rₓ < 5,0 кОм (значения авторской установки)

Возможное решение

Подсоединим омметр к выводам «серого ящика» (СЯ) и убедимся, что его показания изменяются в зависимости от положения ключа и регулятора переменного резистора. В случае, когда мост сбалансирован, общее сопротивление цепи не должно зависеть от того, замкнут или разомкнут ключ. Изменяя сопротивление переменного резистора, сбалансируем мост (периодически проверяя, изменяется или нет общее сопротивление в зависимости от положения ключа). Запишем показание омметра $\Omega_1 = 2{,}0$ кОм для сбалансированного моста. Так как в этом случае отношение сопротивлений $\frac{R_3}{R_2} = \frac{R_x}{R_1} = \alpha$, то $\Omega_1 = (\alpha + 1)\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. С учетом приведенных в условии данных, значение $\alpha = 2$, а сопротивление резистора $R_3 = 4{,}0$ кОм.

Теперь, зная сопротивление трех резисторов, можно найти диапазон значений сопротивлений переменного резистора. Для этого, не замыкая ключа, определим минимальное и максимальное (в зависимости от положения регулятора) сопротивление всей цепи. В общем виде $R_x = \frac{\Omega(R_1 + R_2 + R_3) - R_1(R_2 + R_3)}{R_2 + R_3 - \Omega}$, где $\Omega$ - показания омметра.

Минимальное показание омметра $\Omega_{\text{мин}} \approx 0{,}71$ кОм, а максимальное $\Omega_{\text{макс}} \approx 3{,}0$ кОм. Из чего следует, что $0 < R_{\mathrm{x}} < 5{,}0$ кОм.

Сопротивление резистора $R_4$ можно определить, замкнув ключ при том положении регулятора, когда омметр показывает минимальное сопротивление (сопротивление переменного резистора равно нулю). Показание омметра $\Omega_4 = 0{,}71$ кОм. С учетом того, что $\Omega_4 = \frac{R_1(R_2 + R_{34})}{R_1 + R_2 + R_{34}}$, где $R_{34} = \frac{R_3 R_4}{R_3 + R_4}$, получим

Погрешность можно грубо оценить по числу значащих цифр, входящих в формулы величин. Разумные значения погрешности 5-10%.

Итого: 15 баллов