ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7. Задача 10.1. Золушка

Возможное решение

1. Измеряем массу $M$ пустого шприца. Насыпаем в шприц пшено. Измеряем массу $m_{\text{общ}}$ шприца с пшеном и объем $V$, занимаемый крупой. Для моделирования состояния зерна на дне мешка прижимаем зерно поршнем шприца. Плотность крупы $\rho_{\text{кр}} = \frac{m_{\text{общ}} - M}{V} \approx 0{,}8$ г/см$^3$. Если зерно насыпать в шприц и не уплотнять, измеренная плотность окажется на 10-15% меньше ($\rho_{\text{кр}} \approx 0{,}7$ г/см$^3$).
2. Предположим, что крупа подобна кристаллической структуре, элементарной ячейкой которой является куб, в каждой из вершин которого находится центр зерна и еще у одного центр совпадает с центром куба (объемно-центрированная кубическая решетка). Найдем плотность упаковки такой решетки $k = \frac{V_0}{V_{\text{я}}}$, где $V_0 = NV_{\text{ш}}$ – объем, занимаемый зернами, $N$ – число зерен, приходящихся на одну ячейку, $V_{\text{я}} = a^3$ - объем ячейки. Ребро куба $a$ можно связать с радиусом зерна $r$: $a\sqrt{3} = 4r$ (на большой диагонали куба укладывается два диаметра зерна). $N$ подсчитаем таким образом: каждое из 8 зерен, центры которых находятся в вершинах кубах, принадлежит 8 соседним ячейкам, поэтому на каждую ячейку приходится по 1/8 зерна, и еще одно зерно находится в центре куба: $N = 8 \cdot \frac{1}{8} + 1 = 2$. После подстановки, $k = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}68$. Плотность зерен $\rho_{\text{зер}} = \frac{\rho_{\text{кр}}}{k} \approx 1{,}2$ г/см$^3$. Для гранецентрированной кубической решетки аналогичный расчет дает $k = 0{,}74$ и $\rho_{\text{зер}} = \frac{\rho_{\text{кр}}}{k} \approx 1{,}1$ г/см$^3$. Это наиболее плотная упаковка, наряду с гексагональной. У простой кубической решетки (1 зерно на 1 ячейку) $k = 0{,}52$, тогда $\rho_{\text{зер}} = \frac{\rho_{\text{кр}}}{k} \approx 1{,}5$ г/см$^3$.
3. Измеряем массу $m_1$ 5-6 драже. Далее насыпаем в шприц небольшое количество пшена так, чтобы у дна образовалась «подушка» из зерна, на которую бросаем одно драже. Аккуратно насыпаем зерно, чтобы заполнить промежутки между драже и стенками шприца и подготовить «подушку» для следующего драже. Так продолжаем, пока общий объем смеси $V_{\text{общ}}$ не станет равен 20 мл (сверху при этом должен находиться слой зерна под давлением поршня). Измеряем массу шприца с драже и пшеном $m_2$. Масса пшена $m_{\text{пш}} = m_2 - m_1 - M$. Так как размер зерен пшена много меньше размера драже, можем считать, что крупа заполнила все промежутки, и их объем был равен $V_{\text{пр}} = \frac{m_{\text{пш}}}{\rho_{\text{кр}}}$. Тогда объем, занимаемый самим драже, $V_{\text{др}} = V_{\text{общ}} - V_{\text{пр}}$, а его плотность $\rho_{\text{др}} = \frac{m_1}{V_{\text{др}}} = (1{,}4 - 1{,}6)$ г/см$^3$.

Рекомендации для жюри

1. Жюри необходимо как можно точнее измерить все искомые плотности. Результаты ваших измерений могут несколько отличаться от приведенных в решении, так как и крупа, и драже могут быть разных сортов.
2. Мы также проводили измерения плотности зерен, набирая в шприц с крупой воду. Такой способ не требует никаких первоначальных гипотез о плотности упаковки зерен в крупе. Полученный результат $\rho_{\text{зер}} \approx 1{,}3$ г/см$^3$ соответствует плотности упаковки $k = 0{,}62$.

Итого: 15 баллов