ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. 11 класс · 11.2 · Совпадающие теплоемкости

11.2. (Воробьев И.) Способ 1

Рассмотрим преобразование плоскости $pV$ состоящее из сжатия в $k$ раз по оси $p$ и такого же растяжения по оси $V$. При этом преобразовании сохраняются площади всех фигур, а поэтому сохраняются температуры ($T=pV/R$), работы ($\mathrm{d}A=p\mathrm{d}V$) и теплоемкости ($C=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}T=\mathrm{d}U/\mathrm{d}T+\mathrm{d}A$). По точке $A$ определяем $k=2$ и строим график второго процесса: отрезок из точки (2; 3,5) в точку (16; 7). Вне этого интервала восстановить второй процесс невозможно.

Способ 2

Из первого начала термодинамики имеем для теплоёмкости: $C=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}T=\mathrm{d}U/\mathrm{d}T+p\mathrm{d}V/\mathrm{d}T$.

Так как внутренняя энергия $U=\nu C_VT$, а давление $p=\nu RT/V$, то $C=\nu C_V+(\nu RT/V)\mathrm{d}V/\mathrm{d}T$.

Пусть $V_1(T)$ и $V_2(T)$ объёмы при температуре $T$ для процессов 1 и 2. Из совпадения теплоёмкостей имеем $\mathrm{d}V_2/V_2=\mathrm{d}V_1/V_1$ при одинаковых $T$ и $\mathrm{d}T$, а тогда $(V_2+\mathrm{d}V_2)/(V_1+\mathrm{d}V_1)=V_2/V_2$. Отношение объёмов при температуре $T+\mathrm{d}T$ равно отношению объёмов при температуре $T$, а то есть отношение одинаково при любых температурах и $V_2(T)=kV_1(T)$, где $k$ константа.

При одинаковой температуре $p_2V_2=p_1V_1$, тогда отношение давлений при одинаковой температуре $p_2/p_1=1/k$.

В точке $A$ $p_AV_A=16$ условных единиц (одна клеточка по горизонтали единица объёма, а по вертикали — единица давления).

При той же температуре для первого процесса тогда $p_1V_1=16$, зависимость же давления от объёма, заданная отрезком прямой, $p_1=6+V_1$. Откуда получим уравнение для $V_1$, отвечающего температуре в точке $A$: $(6+V_1)V_1=16$. Выбираем положительный корень $V_1=2$. Откуда находим $k=V_A/V_1=2$.

Наклон графика второго процесса $\mathrm{d}p_2/\mathrm{d}V_2=(\mathrm{d}p_1/\mathrm{d}V_1)k^2=0,25$ оказывается постоянным. Из принадлежности графику точки $A$ получим зависимость давления от объёма для второго процесса: $p_2=3+V_2/4$ и соответственно прямолинейный график.

Для первого процесса за пределами уцелевшего отрезка возможно иная зависимость давления от объёма. Тогда график второго процесса однозначно восстановим лишь в пределах, отвечающих начальной $V_1=1$; $p_1=7$ и конечной точкам $V_1=8$; $p_1=14$ уцелевшего отрезка. По найденному выше коэффициенту $k=2$ для графика второго процесса в начальной точке имеем $V_2=2$; $p_2=3,5$, а в конечной $V_2=16$; $p_2=7$. На рисунке выше приведён восстановленный в этих пределах график второго процесса.