Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-4. 11 класс · 11.4 · Столкновения в магнитном поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2018

LII Всероссийская олимпиада по физике · Теоретический тур

Заголовок оригинала

LII Всероссийская олимпиада по физике. Теоретический тур

9 КЛАСС

Следующий вариант

10 КЛАСС

Следующий вариант

11 КЛАСС

Условие

По двум горизонтальным проводящим рельсам может скользить без трения металлическая перемычка массой $m$ (см. рис.). Расстояние между рельсами $l$ . Движение перемычки ограничено двумя непроводящими жёсткими вертикальными стенками $W_1$ и $W_2$ , находящимися на расстоянии $D$ друг от друга. К рельсам через ключ $K$ последовательно подключены заряженный до напряжения $U_0$ конденсатор емкости $C$ и резистор сопротивления $R$ . Перпендикулярно плоскости рельсов включено вертикальное однородное магнитное поле с индукцией $B$ , такое что $m>B^2l^2C$ и $DBl\gg RCU_0$ . В момент, когда ключ замкнули, перемычка покоилась посередине между стенками. Определите:

Полная исходная рельсовая схема, W1/W2, l/D, перемычка, B, конденсатор, ключ и резистор.

1. с какой стенкой произойдет первое столкновение перемычки;

2. скорость $v_1$ перед первым столкновением;

3. скорость $v_n$ перед $n$ -ым столкновением.

Все столкновения перемычки со стенками абсолютно упругие.

Решение

11.4. (Аполонский А.) При движении перемычки в магнитном поле между ее сторонами, скользящими по направляющим возникает ЭДС равная $\varepsilon_{\text{и}}=Bvl$ , где $v$ — скорость перемычки. Изменение скорости перемычки происходит из-за воздействия на нее силы Ампера равной $F_{\text{а}}=IBl$ при протекающем через нее токе $I$ . Тот же ток заряжает или разряжает конденсатор (в зависимости от направления движения перемычки).

Второй закон Ньютона для перемычки:

ma=IBl

m\frac{\Delta v}{\Delta t}=IBl

$m\Delta v=I\Delta tBl=-\Delta qBl$ , где $\Delta q$ — изменение заряда конденсатора.

При разгоне перемычки от нулевой скорости до $v_1$ :

\Delta v=v_1=\frac{-\Delta qBl}{m}=\frac{(CU_0-q)Bl}{m}

q=CBv_1l

Тогда:

v_1=\frac{C(U_0-Bv_1l)Bl}{m}=\frac{CU_0Bl}{m\left(1+\frac{B^2l^2C}{m}\right)}

Рассмотрим $n$ -ое столкновение со стенкой. Перемычка налетает со скоростью $v_n$ . Заряд на конденсаторе при этом равен $q_n=CBlv_n$ . После столкновения перемычка движется в противоположном направлении с той же скоростью $v_n$ , соответствующей теперь противоположному знаку заряда конденсатора.

Изменение скорости перемычки в процессе перезарядки:

v_n-v_{n+1}=\frac{(q_n+q_{n+1})Bl}{m}.

Здесь $v_{n+1}$ и $q_{n+1}$ — модули скорости и заряда конденсатора при установлении соответствия между ЭДС индукции и напряжением на конденсаторе после столкновения. При этом учтено, что знак заряда конденсатора изменился и $\Delta q=q_n+q_{n+1}$ .

v_n-v_{n+1}=\frac{(v_n+v_{n+1})B^2l^2C}{m}

Отсюда:

v_{n+1}=v_n\frac{1-\frac{B^2l^2C}{m}}{1+\frac{B^2l^2C}{m}}

После $n$ столкновений скорость равна:

v_{n+1}=v_1\left(\frac{1-\frac{B^2l^2C}{m}}{1+\frac{B^2l^2C}{m}}\right)^n=\frac{CU_0Bl}{m}\frac{\left(1-\frac{B^2l^2C}{m}\right)^n}{\left(1+\frac{B^2l^2C}{m}\right)^{n+1}}

Оригинал в Архива: finalT18.pdf