ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. 9 класс · 9.2 · Блоки и цилиндры

9.2. (Аполонский А.) Объем жидкости не изменяется, следовательно поршни могут перемещаться только в противоположных направлениях. Поршень $S_2$ смещается вверх, а $S_1$ — вниз. Пусть при перемещении рычага вверх на $h$, правый поршень поднялся на $x$, а левый опустился на $y$. Тогда из-за несжимаемости жидкости $y=xS_2/S_1$. Рассмотрим изменение длин вертикальных участков нити $AB$, $CD$ и $EF$. Длина $AB$ увеличивается на $\Delta l_1=h+y$, длина участков $CD$ и $EF$ уменьшается на $\Delta l_2=x-h$. Длина нити не меняется, поэтому $\Delta l_1=2\Delta l_2$. Следовательно $h+y=2x-2h$. Откуда:

На поршни действуют силы натяжения (на левый действует сила $T$, а на правый $2T$), сила давления атмосферы и сила давления, действующая со стороны жидкости. Пусть $p_1$ давление в жидкости под поршнем в левом цилиндре. Давление под правым поршнем будет равно: $p_2=p_1-\rho g(x+y)=p_1-\rho gx(1+S_2/S_1)$. Условие равновесия для левого поршня: $T+p_1S_1=p_0S_1$. Для правого: $2T+p_2S_2=p_0S_2$. Откуда:

Сила $F$, приложенная к рычагу равна: $F=3T=9\rho gh\dfrac{S_1+S_2}{(2S_1-S_2)^2}$.

При $S_2=2S_1$ на правый поршень действуют силы давления и натяжения вдвое большие, чем на левый, поэтому поршни не могут двигаться в противоположных направлениях. Следовательно смещение поршней возможно лишь при их отрыве от поверхности жидкости. При перемещении рычага силы не изменяются и равны: $T=p_0S_1$, $F=3T=3p_0S_1$.