ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3. 9 класс · 9.3 · Прилетевший пластилин

9.3. (Замятнин М.) Пластилин, падая свободно с высоты $h_i$ за время $\tau_i=\sqrt{\dfrac{2h_i}{g}}$ приобретает скорость $u_i=\sqrt{2gh_i}$.

Так как брусок до удара движется равномерно, внешняя сила тяги равна $F=\mu mg$. В момент слипания на тела системы действуют две внешние ударные силы: трения, нормальной реакции опоры и две внешние постоянные силы: тяжести и тяги. За бесконечно малое время удара роль постоянных сил в изменении импульса системы пренебрежима. Запишем изменение импульса системы с учетом ударных сил (теорему о движении центра масс системы в импульсной форме). На горизонтальную ось: $\Delta p_x=-\mu N\Delta t$; на вертикальную: $\Delta p_y=N\Delta t$. Учитывая, что скольжение бруска не прекращается за время слипания: $\Delta p_x=-\mu\Delta p_y$, или $2mv_k-mv_0=-\mu mu$, откуда скорость системы сразу после слипания $v_k=(v_0-\mu u)/2$.

Из второго закона Ньютона, записанного для системы после слипания: $2ma=F-2\mu mg$, следует, что под действием внешней силы тяги система будет двигаться равнозамедленно с ускорением $a=\mu g/2$. Окончательно зависимость скорости системы от времени приобретает вид $v=v_k-a(t-\tau)=(v_0-\mu u-\mu g(t-\tau))/2=(v_0-\mu gt)/2$. Скорость не зависит от начальной высоты падения пластилина! Полученная зависимость верна для времен $t>\tau$. Поэтому при падении с высот больших, чем $h_1=5$ метров скорость бруска через 1 с не изменится и будет равна 4 м/с, но при падении с меньших высот она окажется равной $v=(v_0-\mu gt_1)/2=1$ м/с. Для любых высот падения пластилина скорость бруска обращается в ноль при $t_0=v_0/\mu g=2$ с.

Следует заметить, что ответ на скорость системы угадывается. Если в силу существования решения задачи предположить, что от высоты падения пластилина конечная скорость системы не зависит, то для определенности начальную высоту можно взять нулевой. Тогда сразу пишется ответ $v=(v_0-\mu gt)/2$. Но такое решение нельзя засчитывать, как правильное, так как оно получено для вырожденного случая и гарантированно не обобщается.

Приведенное выше решение получено в предположении, что брусок не останавливается (его не заклинивает) в момент удара. Для указанных численных данных заклинивание возможно при падении пластилина с высот более $h=v_0^2/(2\mu^2g)=20$ м.

График зависимости скорости бруска от времени получается путем сшивки постоянной скорости бруска до соударения с выведенной выше зависимостью со скачком во время удара.