Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11.2. «Серый» ящик с конденсаторами.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 23 января 2019 г. · 23 януари 2019 г. · 15 т.

Условие

В предложенном вам «сером ящике» находятся резистор сопротивлением $R$ и четыре конденсатора емкостями $C_1$ и $C_2$ , соединенные так, как показано на схеме. Перед туром конденсаторы проходили «тренировку» - в течение нескольких часов находились под напряжением 10 В.
Определите значение емкостей $C_1$ и $C_2$ .

Приборы и оборудование: «серый» ящик, эталонный конденсатор емкости $C_0 = \left(1{,}0 \pm 0{,}2\right)$ мФ, батарейка «Крона», мультиметр, зажим типа «крокодил».
Примечание: 1) вывод серого ящика, помеченный знаком «–» (в нашем случае это белый провод) допустимо соединять только с «минусом» батарейки, а положительный вывод эталонного конденсатора $C_0$ – с «плюсом» батарейки.

Схема «серого» ящика в штриховой рамке: две параллельные ветви между левым и правым выводами; верхняя ветвь — конденсаторы C1 и C2, нижняя — C2 и C1; средние точки ветвей соединены резистором R.

Отговори

Решение

Возможное решение. Соединим последовательно «серый» ящик, эталонный конденсатор $C_0$ и батарейку.

Сразу после замыкания цепи измерим напряжение $U_1$ на «сером» ящике или $U_{01}$ на эталонном конденсаторе. Измерения нужно производить достаточно быстро, так как после подключения батарейки внутри «серого» ящика начинается процесс перераспределения зарядов между конденсаторами.
Время от времени контролируем напряжение на «сером» ящике или на эталонном конденсаторе до тех пор, пока оно не перестанет изменяться. Обозначим установившееся на «сером» ящике напряжение $U_2$ (или $U_{02}$ на эталонном конденсаторе).

Схема измерения: батарейка, эталонный конденсатор C0 и «серый» ящик (серый прямоугольник) соединены последовательно в замкнутую цепь.

Для случая 1) запишем:

U_1 = U_0\left(\frac{C_0}{C_0 + \dfrac{2C_1C_2}{C_1 + C_2}}\right)\ \text{или}\ \frac{U_0}{U_1} = 1 + \frac{1}{C_0}\frac{2C_1C_2}{C_1 + C_2}. \qquad (1)

Здесь конденсаторы $C_1$ и $C_2$ верхней ветви «серого» ящика, как и конденсаторы $C_1$ и $C_2$ нижней ветви зарядились, но выравнивания потенциалов через резистор $R$ ещё не началось.
В случае 2) выводы резистора оказываются под одним и тем же потенциалом, а напряжение

U_2 = U_0\left(\frac{C_0}{C_0 + \dfrac{C_1 + C_2}{2}}\right)\ \text{или}\ \frac{U_0}{U_2} = 1 + \frac{C_1 + C_2}{2C_0}. \qquad (2)

Решая систему уравнений (1) и (2) получим:

C_1C_2 = C_0^2\left(\frac{U_0}{U_1} - 1\right)\left(\frac{U_0}{U_2} - 1\right) = A. \qquad (3)

C_1 + C_2 = 2C_0\left(\frac{U_0}{U_2} - 1\right) = B. \qquad (4)

Из системы уравнений (3) и (4) найдём интересующие нас ёмкости $C_1$ и $C_2$ .

C_{1,2} = \frac{B}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{B}{2}\right)^2 - A}.

Систему уравнений аналогичную (1) – (4) можно получить для напряжений $U_{01}$ и $U_{02}$ .
В нашем случае $U_0$ = 9,28 В, $U_1$ = 3,72 В, $U_2$ = 3,02 В, $C_0$ = 1,0 мФ.
Тогда $C_1$ = 3,2 мФ, $C_1$ = 1,0 мФ.

Критерии оценивания (15 баллов)

№	Критерий	Баллы
1	Указано, что конденсаторы были разряжены или выполнена их разрядка	1 балл
2	Измерено $U_1$ (1 балл) и описана последовательность его измерения	2 балла
3	Измерено $U_2$ (1 балл) и описана последовательность его измерения (указано, что необходимо убедиться в окончании процесса перезарядки)	2 балла
4	Проведены повторные измерения пунктов 2) и 3)	1 балл
5	Получен (теоретически) один из вариантов формулы (1)	2 балла
6	Получен (теоретически) одна из вариантов формулы (2)	2 балла
7	Решена система уравнений и записана формула (3)	1 балл
8	Решена система уравнений и записана формула (4)	1 балл
9	Найдена ёмкость $C_1$ (результат попал в 20% погрешность)	1 балл
10	Найдена ёмкость $C_2$ (результат попал в 20% погрешность)	1 балл
11	Оценена погрешность измерения емкостей	1 балл

Оригинал в Архива: region19E.pdf