Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7. 10-1. «Серый» ящик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 23 января 2019 г. · 23 януари 2019 г. · 15 т.

Условие

В «сером» ящике находится электрическая цепь, схема которой представлена на рис. 1. Цепь состоит из двух резисторов $R_1$ и $R_2$ ( $R_1 > R_2$ ) и трёх разноцветных проводов, выведенных наружу.
Определите сопротивление резисторов $R_1$ и $R_2$ и укажите цвет проводов, присоединенных к каждому из резисторов, а также к средней точке цепи.

Схема: вывод A, резистор R1, узел с выводом B вниз, резистор R2, вывод C — последовательная цепь из двух резисторов со средней точкой B. — Рис.1. Схема цепи в «сером» ящике.

Примечание: выданный вам источник питания постоянного тока (далее Источник) содержит ЭДС $U$ (неизвестна) и включенный последовательно с ней резистор сопротивлением $r = 1\,000$ Ом (рис. 2).

Схема источника в штриховой рамке: резистор r и последовательно с ним источник ЭДС U, два вывода наружу. — Рис.2 Схема источника постоянного тока.

Оборудование: серый ящик, вольтметр, Источник.

Отговори

Решение

Возможное решение.

Предварительные эксперименты с выданным оборудованием приводят к выводу, что а) Мультиметр в режиме омметра и миллиамперметра не работает.
б) При последовательном соединении вольтметра с Источником, а затем вольтметра с Источником и одним из резисторов убеждаемся, что внутреннее сопротивление вольтметра соизмеримо с внутренним сопротивлением источника и его необходимо учитывать при вычислении сопротивлений цепи.
в) Чем меньше величина резистора, включенного последовательно с вольтметром и Источником, тем больше будут показания вольтметра. (При подключении к Источнику параллельно соединенных резистора из «серого» ящика и вольтметра, результат будет противоположный: чем меньше сопротивление резистора, тем меньше напряжение на вольтметре). Таким образом, легко установить и проверить, какого цвета провод соответствует выводам ( $A$ , $B$ , $C$ ) цепи «серого» ящика.
Для более точного определения сопротивления резисторов в «сером» ящике проведем указанные ниже измерения и в соответствии с законом Ома запишем выражения для напряжений на вольтметре $U_0$ , $U_1$ , $U_2$ в каждом случае (здесь $R_{\text{в}}$ – сопротивление вольтметра, все остальные обозначения соответствуют обозначениям в условии задачи).

Три схемы измерений: (1) источник (r и U в штриховой рамке) замкнут на вольтметр V; (2) то же с резистором R1, включённым последовательно с вольтметром; (3) вольтметр V подключён параллельно резистору R1 на выходе источника.

U_0 = U\frac{R_{\text{В}}}{r + R_{\text{В}}}. \qquad (1)

U_1 = U\frac{R_{\text{В}}}{r + R_1 + R_{\text{В}}}. \qquad (2)

U_2 = U\frac{R_1R_{\text{В}}}{rR_1 + R_1R_{\text{В}} + rR_{\text{В}}}. \qquad (3)

Запишем выражения (1) – (3) в обратных величинах:

\frac{1}{U_0} = \frac{1}{U} + \frac{1}{U}\frac{r}{R_{\text{В}}}. \qquad (4)

\frac{1}{U_1} = \frac{1}{U} + \frac{1}{U}\frac{r}{R_{\text{В}}} + \frac{1}{U}\frac{R_1}{R_{\text{В}}}. \qquad (5)

\frac{1}{U_2} = \frac{1}{U} + \frac{1}{U}\frac{r}{R_{\text{В}}} + \frac{1}{U}\frac{r}{R_1}. \qquad (6)

Вычтем (4) из (5) и (6):

\frac{U_0 - U_1}{U_0U_1} = \frac{1}{U}\frac{R_1}{R_{\text{В}}}. \qquad (7)

\frac{U_0 - U_2}{U_0U_2} = \frac{1}{U}\frac{r}{R_1}. \qquad (8)

Разделим (4) на (7) и (8):

\frac{U_1}{U_0 - U_1} = \frac{R_{\text{В}} + r}{R_1}. \qquad (9)

\frac{U_2}{U_0 - U_2} = R_1\frac{r + R_{\text{В}}}{rR_{\text{В}}}. \qquad (10)

Умножим (9) на (10):

\frac{U_1U_2}{\left(U_0 - U_1\right)\left(U_0 - U_2\right)} = \frac{\left(r + R_{\text{В}}\right)^2}{rR_{\text{В}}}. \qquad (11)

Обозначив левую часть (11) через $k$ , получим квадратное уравнение для $R_{\text{в}}$

\left(r + R_{\text{В}}\right)^2 = k\,rR_{\text{В}}

Его решение

\left(r + R_{\text{В}}\right)^2 = k\,rR_{\text{В}}

R_{\text{В}} = \frac{r}{2}\left(k \pm k\sqrt{1 - \frac{4}{k}} - 2\right). \qquad (12)

Заметим, что при $R_{\text{в}} \approx r$ значение параметра $k$ очень близко к 4, и слагаемым с корнем в (12) можно пренебречь.
Теперь из (9) находим сопротивление $R_1$ и аналогично ищем $R_2$ .
Заметим, что при $R_{\text{в}}$ , приблизительно равном $r$ , значение параметра $k$ очень близко к 4 и слагаемым с квадратным корнем в (12) можно пренебречь. Теперь из (9) находим величину сопротивления $R_1$ . Аналогично определяем величину $R_2$ .

Критерии оценивания (15 баллов)

№	Критерий	Баллы
1)	Установлена «неидеальность» вольтметра	1 балл
2)	Обоснована методика сравнения сопротивлений резисторов в «сером» ящике	1 балл
3)	Приведены результаты измерений напряжения при подключении «серого» ящика к цепи (из вольтметра и источника) различными выводами	1 балл
4)	Установлено соответствие цвета провода с маркировкой выводов на схеме «серого» ящика	2 балла
5)	Составлена система трёх уравнений для нахождения сопротивления одного из резисторов (по 1 баллу за каждое уравнение)	3 балла
6)	Измерены напряжения $U_0$ , $U_1$ , $U_2$	1 балл
7)	Найдено сопротивление $R_1$	3 балла
8)	Найдено сопротивление $R_2$	3 балла

Указания для организаторов.

«Серый» ящик должен содержать два резистора с величинами порядка $R_2$ = (500 - 700) Ом и $R_1$ = (1300 - 1700) Ом. Сам ящик может представлять собой миниатюрную сборку-скрутку замотанную в изоленту и, желательно, обтянутую термоусадочным кембриком (см. фото). Выводы должны быть выполнены проводами трех различных цветов, причем необходимо обеспечить одинаковость цвета провода, присоединяемого к средней точке цепи, к выводам меньшего и большего по величине резисторов. Концы проводов следует залудить, т.е. сделать их пригодными для подключения к ним зажимов типа «крокодил».
Источник питания постоянного тока поместите в закрытой и защищенной от «взлома» коробочке (очень удобны и дешевы мини коробочки с губкой для чистки обуви). Внутри закрепите два элемента АА или ААА и резистор $r$ = 1 000 Ом, соединенные последовательно. К выводам припаяйте зажимы «крокодил».
Вольтметр представляет собой модернизированный мультиметр, из которого следует удалить предохранитель (в цепи измерителя токов), а также внутри мультиметра к выводам «COM» и «V,Ω,mA» (параллельно входу измерения сопротивлений) припаять резистор $R_{\text{в}}$ = 1100 Ом.

Замечание: сопротивления резисторов $r$ и $R_{\text{в}}$ могут несколько отличаться от указанных в данном описании, но в любом случае следует выполнить соотношение $R_{\text{в}}$ = 1,1 $r$ .

Оригинал в Архива: region19E.pdf