ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 23. Остановка частицы в магнитном поле

• 1) $S = \frac{mv_0\,\mathrm{tg}\varphi}{qB} = \frac{p_0\,\mathrm{tg}\varphi}{qB}$
• 2) $l = \frac{mv_0}{qB}\sin\varphi = \frac{p_0\sin\varphi}{qB}$

Возможное решение. Выберем начало координат в т. $A$, направим ось $y$ по направлению вектора скорости частицы в т. $A$, а ось $x$ – перпендикулярно $\overrightarrow{v_0}$ и $\vec{B}$ так, чтобы в начальный момент времени сила Лоренца действовала в положительном направлении оси $x$. Пусть $b$ - коэффициент пропорциональности в зависимости силы сопротивления от скорости частицы $\vec{F}_c = -b\vec{\upsilon}$

Уравнение движения частицы в проекции на координатные оси выглядит так

Сделаем замены $\frac{qB}{m} = k$ и $\frac{b}{m} = \alpha$, и для малого интервала времени $\Delta t$

Тогда

Здесь $\Delta x$ и $\Delta y$ - изменение координат частицы за малый промежуток времени $\Delta t$. Суммируя изменения проекций скорости и координат частицы за произвольное время от начала движения, получим

В точке $C$ вектор скорости частицы антипараллелен $\overrightarrow{v_0}$ и $v_x = 0$. Отсюда $ky = \alpha x$ и $\frac{x}{y} = \frac{k}{\alpha} = tg\varphi$, $\alpha = kctg\varphi$.

Сила Лоренца действует перпендикулярно скорости и изменение модуля скорости частицы определяется только силой сопротивления. Поэтому

$\Delta v = -\alpha v\Delta t = -\alpha\Delta s$,

где $\Delta s$ – расстояние, пройденное за $\Delta t$. Суммируя обе части уравнения за произвольное время движения, получаем

$v - v_0 = -\alpha s$,

$S = \frac{mv_0tg\varphi}{qB}$.

Здесь $S$ – расстояние, пройденное частицей от начала движения до момента остановки. Пусть координаты точки $O$ (точки остановки) $x_0, y_0$. Так как в этой точке $v_x = 0$, $y_0 = x_0ctg\varphi$.

Расстояние от начальной точки до точки остановки

Критерии оценивания