Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 2. Каникулы в Простоквашино (1)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 21 января 2019 г. · 21 януари 2019 г.

Условие

От станции Простоквашино до дома, в котором живёт кот Матроскин, расстояние $s = 1{,}2$ км. Дядя Фёдор с Шариком приехал на станцию Простоквашино и пошёл домой со скоростью $\upsilon_{\text{Ф}} = 4$ км/ч, а Шарик побежал со скоростью $\upsilon_{\text{Ш}} = 12$ км/ч. Добежав до дома Шарик повернул обратно, навстречу дяде Фёдору, и так бегал вперед и назад между дядей Фёдором и домом вплоть до момента прибытия мальчика домой. Какой путь больше: суммарный путь $S_1$ , который Шарик пробежал, перемещаясь в сторону дома, или $S_2$ , который он пробежал, перемещаясь в обратном направлении. На сколько один путь длиннее другого? Определите $S_1$ и $S_2$ .

Отговори

Решение

Задача 2. Каникулы в Простоквашино (1).

$S_{\downarrow} \equiv S_1 = s_1 + s_3 + s_5 + s_7 + \ldots$ (1), $S_{\uparrow} \equiv S_2 = s_2 + s_4 + s_6 + \ldots$ (2) – см. рис.2. $s_1 = s$ (путь, который преодолел Шарик от станции до дома, $s_2 = s_3$ , $s_4 = s_5$ , $s_6 = s_7$ , … (Шарик пробежал от дома до Дяди Фёдора, а потом пробежал обратно до дома; причем так много-много раз).

График x(t): прямая x = s − υФt от точки s на оси x до точки T = s/υФ на оси t; между осью t и этой прямой — зигзаг движения Шарика со стрелками, отрезки пронумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6. — Рис. 2

В итоге, в сумме (1) первое слагаемое равно $s$ (расстоянию от станции до дома), а сумма остальных слагаемых в точности равна сумме всех слагаемых в (2), т.е. $S_1 - S_2 = s$ , или

\upsilon_{\text{Ш}}T_1 - \upsilon_{\text{Ш}}T_2 = s, \text{ или еще иначе } T_1 - T_2 = \frac{s}{\upsilon_{\text{Ш}}}. \qquad (1)

Сумма времен $T_1$ и $T_2$ дает общее время движения дяди Фёдора: $T_1 + T_2 = \dfrac{s}{\upsilon_{\text{Ф}}}$ , (2)

которое, разумеется, совпадает с полным временем движения Шарика.

Решая систему уравнений (1-2), находим:

T_1 = \frac{\upsilon_{\text{Ш}} + \upsilon_{\text{Ф}}}{\upsilon_{\text{Ш}}\upsilon_{\text{Ф}}}\frac{s}{2} = 0{,}2\ \text{часа}, \qquad T_2 = \frac{\upsilon_{\text{Ш}} - \upsilon_{\text{Ф}}}{\upsilon_{\text{Ш}}\upsilon_{\text{Ф}}}\frac{s}{2} = 0{,}1\ \text{часа}.

S_1 = s\frac{\upsilon_{\text{Ш}} + \upsilon_{\text{Ф}}}{2\upsilon_{\text{Ф}}} = 2{,}4\ \text{км}, \qquad S_2 = s\frac{\upsilon_{\text{Ш}} - \upsilon_{\text{Ф}}}{2\upsilon_{\text{Ф}}} = 1{,}2\ \text{км}.

Критерии оценивания

1	Указано, что $S_1 - S_2 = s = 1{,}2$ км.	2 балла
2	Указано, что $T_1 + T_2 = s/\upsilon_{\text{Ф}}$	2 балла
3	Найдено время $T_1$ (не обязательно в числах)	2 балла
4	Найдено время $T_2$ (не обязательно в числах)	2 балла
5	Найден путь $S_1$	1 балл
6	Найден путь $S_2$	1 балл

Онлайн-разбор решений

22 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00. Чтобы при разборе задач вы могли задать вопросы, необходима регистрация на портале.

Оригинал в Архива: region19T.pdf