Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Теоретический тур. 9 класс. Задача 2. Безопасная дистанция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: olymp228@gmail.com

Сайт: www.physolymp.ru

Авторы задач

Теоретический тур

9 класс

Подоляко Е.
Замятнин М.
Замятнин М.
Аполонский А.
Слободянин В.

10 класс

Варламов С.
Воробьев И.
Колдунов Л., Жигар А.
Аполонский А.
Компанеец Р.

11 класс

Уймин А.
Аполонский А.
Аполонский А.
Маринюк В., Муравьев С., Чернов А.
Мельниковский Л.

Экспериментальный тур

9 класс

Кармазин С.
Кармазин С.

10 класс

Карманов М.
Ноян А.

11 класс

Юдин И.
Киселев А.

Выходные данные

Набор и вёрстка — Ерофеев И., Шевченко Н., Цыбров Ф., Алексеев А.

Общая редакция — Воронов А., Замятнин М., Карманов М., Аполонский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 7 апреля 2019 г. в 01:24.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

По прямому участку дороги с одинаковой скоростью $v$ друг за другом едут две машины, одна из которых при торможении замедляется с ускорением $a_1$ , а другая с ускорением $a_2$ . Если начнет тормозить водитель передней машины, то водитель задней среагирует и нажмет на педаль тормоза не сразу, а с задержкой $\tau = 1{,}0$ с. В зависимости от того, какая из машин будет ехать впереди, минимальная безопасная дистанция, позволяющая избежать столкновения между ними, окажется равной либо $L_1 = 5$ м, либо $L_2 = 40$ м. Определите, с какой скоростью едут машины.

Отговори

Решение

Если машины не встречаются до полной остановки, то безопасное расстояние между ними складывается из разности тормозных путей до полной остановки и длины участка, на котором задний автомобиль движется с постоянной скоростью. Такой сценарий однозначно реализуется, если сзади едет машина, тормозящая с меньшим ускорением $a_1$ (см. график зависимости мгновенной скорости $u$ машин от времени $t$ (рис. 17)). Безопасная дистанция, при этом принимает большее значение ( $L_2$ ).

График скорости u от времени t на сетке: обе машины начинают со скорости v; одна линия сразу спадает до нуля при $t = v/a_2$, другая остаётся горизонтальной до τ и спадает до нуля при $t = v/a_1 + \tau$; закрашенная область между ними обозначена $L_2$. — Рис. 17

L_2 = v\tau + \frac{v^2}{2a_2} - \frac{v^2}{2a_1} \quad \text{или} \quad L_2 = v\tau + \frac{v^2}{2}\frac{a_2 - a_1}{a_1a_2}

График скорости u от времени t: одна машина тормозит с момента 0 до $v/a_1$, другая с момента τ до $v/a_2 + \tau$; линии пересекаются при скорости $v_1$ (штриховая горизонталь); закрашенный треугольник между ними обозначен $L_1$. — Рис. 18

Возможна ситуация, при которой задняя машина, начинающая торможение позже, но движущаяся затем с большим ускорением, догоняет переднюю, когда та еще не остановилась (рис. 18).

Для реализации этого случая, необходимо выполнение условия:

\tau + \frac{v}{a_2} < \frac{v}{a_1}, \qquad \text{или} \qquad v > \frac{a_1a_2}{a_2 - a_1}\tau \qquad (1)

Тогда безопасная дистанция рассчитывается по формуле $L_1 = \frac{1}{2}\tau(v - v_1)$ , и с учетом соотношений: $v - v_1 = a_1t$ и $v - v_1 = a_2(t - \tau)$

L_1 = \frac{1}{2}\tau^2\frac{a_1a_2}{a_2 - a_1}, \quad \text{откуда} \quad L_2 = v\tau + \frac{v^2}{4}\frac{\tau^2}{L_1}.

Решая квадратное уравнение $v^2\tau^2 + 4L_1v\tau - 4L_1L_2 = 0$ относительно $v$ , получим:

v = \frac{2L_1}{\tau}\left(\sqrt{1 + \frac{L_2}{L_1}} - 1\right) = 20\ \text{м/с}. \qquad (2)

В предположении встречи после остановки первой машины получается ответ: $v = \frac{L_1 + L_2}{2\tau} = 22{,}5$ м/с, что принципиально неверно для заданных в условии расстояний.

График скорости u от времени t на сетке: несколько прямых спада от уровня v; закрашенные области, три из которых обозначены L, отрезки на уровне v и на оси t обозначены τ. — Рис. 19

Отметим, что так как $\frac{a_1a_2}{a_2 - a_1} = \frac{2L_1}{\tau^2}$ , условие (1) может быть записано так $v > 2L_1/\tau$ . Сравнение этого неравенства с формулой (2) дает простое выражение для условия реализации встречи машин до остановки ( $L_2/L_1 > 3$ ). На (рис. 19) представлена графическая интерпретация этого неравенства.

Оригинал в Архива: Ru19.pdf