Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 20. Экспериментальный тур. 11 класс. Задача 1. Катушка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: olymp228@gmail.com

Сайт: www.physolymp.ru

Авторы задач

Теоретический тур

9 класс

Подоляко Е.
Замятнин М.
Замятнин М.
Аполонский А.
Слободянин В.

10 класс

Варламов С.
Воробьев И.
Колдунов Л., Жигар А.
Аполонский А.
Компанеец Р.

11 класс

Уймин А.
Аполонский А.
Аполонский А.
Маринюк В., Муравьев С., Чернов А.
Мельниковский Л.

Экспериментальный тур

9 класс

Кармазин С.
Кармазин С.

10 класс

Карманов М.
Ноян А.

11 класс

Юдин И.
Киселев А.

Выходные данные

Набор и вёрстка — Ерофеев И., Шевченко Н., Цыбров Ф., Алексеев А.

Общая редакция — Воронов А., Замятнин М., Карманов М., Аполонский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 7 апреля 2019 г. в 01:24.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

В выданном вам черном ящике находится катушка с большим числом витков. Ось катушки совпадает с осью отверстия в черном ящике. В этой работе ваша задача — определить параметры катушки, исследуя ее взаимодействие с постоянным магнитом (магнитным шариком).

Магнитные свойства постоянных магнитов характеризуются магнитным моментом $p_m$ . Магнитный момент шарика направлен вдоль оси латунной трубки, поэтому в рамках данной задачи сила, действующая на шарик со стороны катушки, направлена по оси катушки и определяется выражением $F = p_m\frac{dB}{dx}$ , где $p_m = (0{,}10 \pm 0{,}01)$ А $\cdot$ м $^2$ , $B$ — индукция магнитного поля на оси катушки, $x$ — расстояние между шариком и центром катушки.

Подайте на катушку напряжение $U = 12$ В с помощью блока питания. Убедитесь, что переключатель на блоке питания установлен в положение «12В». Если это не так, обратитесь к ответственным за аудиторию.

Соберите установку так, чтобы магнитный шарик, прикрепленный к латунной трубке, мог перемещаться вдоль оси катушки. Запишите номер установки.

1. Снимите зависимость силы $F$ , действующей на магнитный шарик со стороны катушки, от расстояния $x$ между шариком и центром катушки. Учтите, что центр катушки может не совпадать с центром черного ящика. Постройте график этой зависимости.

2. Определите индукцию магнитного поля $B_0$ в центре катушки.

3. Получите теоретическую формулу для индукции магнитного поля $B$ на оси витка радиуса $r$ на расстоянии $x$ от центра витка, по которому течет ток $I$ .

4. Определите радиус катушки $R$ в предположении, что высота катушки много меньше диаметра, а все витки имеют один радиус (короткая катушка).

5. Определите количество витков в катушке $N$ и диаметр проволоки $d$ , по-прежнему считая катушку короткой.

Масса медной обмотки составляет 70% массы черного ящика. Плотность меди $\rho = 8{,}96$ г/см $^3$ . Удельная проводимость (величина, обратная удельному сопротивлению) меди $\lambda = 59 \cdot 10^6$ Ом $^{-1}\cdot$ м $^{-1}$ .

Оборудование. Весы электронные, катушка индуктивности в черном ящике, латунная трубка с неодимовым магнитным шариком, блок питания, штатив, деревянная линейка, плоская клипса, две клипсы для бумаги, деревянный кубик, прищепка.

Примечание. Согласно закону Био–Савара–Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого в точке $C$ элементом тока $I$ длиной $dl$ , находящимся в точке $D$ , равна $dB = \frac{kI\,dl\sin\alpha}{r^2}$ , где $r$ — длина отрезка $CD$ , $\alpha$ — угол между отрезком $CD$ и направлением тока, $k = 10^{-7}$ Гн/м. Вектор индукции поля перпендикулярен как направлению тока, так и отрезку $CD$ (рис. 15).

Изогнутый проводник с током I; в точке D на проводнике элемент dl (стрелка вдоль провода); штриховой отрезок r от D до точки C; угол α между отрезком и направлением тока; в точке C знак ⊗ и подпись $d\vec B$. — Рис. 15

Отговори

Решение

Установка: крепим зажимом типа «бульдог» латунную трубку вдоль линейки. Линейку крепим к выступу деревянного штатива шкалой наружу с помощью двух больших зажимов. Перемещая трубку с «бульдогом» относительно линейки, будем изменять высоту шарика. Под шарик располагаем весы, на который ставим кубик, на кубик ящик с катушкой. Прищепку используем для закрепления провода питания, чтобы его перемещения не влияли на показания весов.

Схема установки: деревянный штатив с кронштейном, к которому прикреплена вертикальная линейка Л; вдоль неё зажимом закреплена латунная трубка Т с магнитным шариком на конце, опущенным в отверстие чёрного ящика ЧЯ с катушкой (выводы к напряжению U); ящик стоит на кубике К на электронных весах (дисплей «888 г»). Подписи: Л, зажим, Т, ЧЯ, U, К, весы. — Рис. 50

Включаем весы, убеждаемся, что при выключенном питании на них 00.0, при необходимости сбрасываем. Включением и выключением питания катушки убеждаемся в воспроизводимости показаний весов и снимаем зависимость показаний от координаты $h$ (снятой с линейки).

Заметим, что при нахождении шарика в центре катушки сила равна нулю (так как индукция магнитного поля максимальна), что позволяет определить координату центра катушки и получить искомую зависимость простым сдвигом.

h, мм	158	160	162	164	166	168	170
F, г сила	-0.93	-0.63	-0.36	-0.12	0.19	0.54	0.83
x, мм	-7	-5	-3	-1	1	3	5
F, мН	-9.114	-6.174	-3.528	-1.176	1.862	5.292	8.134

h, мм	172	174	176	178	180	182	184
F, г сила	1.03	1.27	1.46	1.72	1.77	1.79	1.67
x, мм	7	9	11	13	15	17	19
F, мН	10.094	12.446	14.308	16.856	17.346	17.542	16.366

h, мм	190	195	200	205	210	215	220
F, г сила	1.46	1.14	0.9	0.68	0.52	0.39	0.31
x, мм	25	30	35	40	45	50	55
F, мН	14.308	11.172	8.82	6.664	5.096	3.822	3.038

h, мм	225	230	235	240	245	250
F, г сила	0.24	0.17	0.12	0.1	0.09	0.07
x, мм	60	65	70	75	80	85
F, мН	2.352	1.666	1.176	0.98	0.882	0.686

График зависимости силы F, мН (от −1,0 до 1,5) от x, мм (от −10 до 95): синие экспериментальные точки и сглаживающая кривая, проходящая через ноль при x = 0, с максимумом около 1,8 при x ≈ 17 мм и спадающая к нулю при больших x. — Рис. 51

Так как сила зависит, согласно условию задачи, от градиента поля $F = p_m\frac{dB}{dx}$ , то изменение поля будет пропорционально силе, т.е. $\Delta B = \frac{F}{p_m}\Delta x$ . Вычислим изменение поля при движении по оси из «бесконечности», найдя площадь под графиком силы от перемещения. Так как магнитным полем Земли можно пренебречь, т.е. вдали от катушки поле 0, то это изменение и есть поле катушки. Его можно определить по площади под графиком $F(x)$ :

B_0 = \frac{1}{p_m}\int_1^2 F\,dx = 5{,}95\cdot 10^{-3}\ \text{Тл}

Разобьем кольцо на элементы длины $dl$ . Каждый из них будет создавать индукцию

dB = \frac{kIdl}{r^2 + x^2},

поскольку направление тока перпендикулярно направлению на элемент. Вектор индукции поля, создаваемой элементом, направлен под углом $\beta$ к оси витка $\left(\cos\beta = \frac{r}{\sqrt{r^2 + x^2}}\right)$ , поэтому его проекция на ось

dB_x = \frac{kIrdl}{(r^2 + x^2)^{3/2}}

Суммируем поля от элементов:

B = \frac{2\pi kIr^2}{(r^2 + x^2)^{3/2}} \qquad (9)

Искать радиус катушки можно либо по положению максимума зависимости $F(x)$ , либо по значению производной $dF/dx$ при $x = 0$ .

Рассмотрим сначала первый вариант.

Поскольку катушка считается короткой, воспользуемся формулой из предыдущего пункта для витков катушки радиусом $R$ . Обозначим за $I$ сумму токов во всех витках катушки ( $I = NI_1$ , где $I_1$ — ток в одном витке). Найдем первую производную, которая будет пропорциональна силе, и вторую производную, показывающую градиент силы:

\frac{dB}{dx} = -\frac{6\pi kIR^2x}{(R^2 + x^2)^{5/2}}

\frac{d^2B}{dx^2} = -\frac{6\pi kIR^2(4x^2 - R^2)}{(R^2 + x^2)^{7/2}} \qquad (10)

Отсюда видно, что максимум силы достигается при

x = R/2

Снимая с графика положение максимума $x_0 = 1{,}7$ см, получаем $R = 3{,}4$ см.

Теперь рассмотрим второй вариант.

Из уравнения (10) получаем производную силы при $x = 0$ :

\frac{dF}{dx} = \kappa_0 = p_m\frac{6\pi kI}{R^3}

Определяем $\kappa_0$ по наклону графика в нуле: $\kappa_0 = 1{,}6$ Н/м.

Из уравнения (9) найдем индукцию поля в центре катушки:

B_0 = \frac{2\pi kI}{R} \qquad (11)

Зная $B_0$ и $\kappa_0$ , найдем радиус катушки:

\frac{p_mB_0}{\kappa_0} = \frac{R^2}{3}

R = \sqrt{\frac{3p_mB_0}{\kappa_0}} = 3{,}3\ \text{см}

Из уравнения (11)

I = \frac{B_0R}{2\pi k} = 320\ \text{А}

Напряжение на одном витке катушки

U_1 = \frac{U}{N},

Из закона Ома для одного витка

\frac{U_1}{I_1} = \frac{U}{I} = \frac{2\pi R}{\lambda\pi d^2/4} = \frac{8R}{\lambda d^2}

d = \sqrt{\frac{8IR}{\lambda U}} = 0{,}35\ \text{мм}

Чтобы найти массу черного ящика, поставим кубик на весы и обнулим их показания. После этого положим на кубик черный ящик. Зная массу черного ящика, рассчитаем массу катушки: $M = 204$ г. Для определения количества витков $N$ выпишем:

\frac{M}{\rho} = \frac{\pi d^2}{4}N2\pi R \Rightarrow Nd^2 = \frac{2M}{\pi^2R\rho}

N = \frac{\lambda UM}{4\pi^2IR^2\rho} = 1{,}1 \cdot 10^3

Оригинал в Архива: Ru19.pdf