Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 10. клас — Задача 10.2. Бильярд на льду

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Условие

На горизонтальной шероховатой поверхности покоятся две одинаковые маленькие шайбы. По одной из них наносят удар клюшкой, после чего она налетает на вторую шайбу. На рисунке представлены участки траекторий шайб до и после их частично упругого столкновения.

Три отрезка траекторий, сходящихся в одной точке: штриховые концы помечены a (слева вверху), b (справа) и c (слева внизу); угол между a и b отмечен двойной дугой 135°, угол между a и c — 60°.

1) Определите, какая из трёх траекторий: – «a», «b» или «c» – может быть траекторией налетающей шайбы. Ответ обоснуйте.

2) Для каждого из возможных случаев дальнейшего развития событий определите:

А) отношение расстояний, которые проходят шайбы до остановки после столкновения;

Б) долю кинетической энергии налетающей шайбы, которая переходит в тепло в результате столкновения.

Боковые поверхности шайб гладкие.

Отговори

Решение

Векторная диаграмма импульсов: горизонтальная стрелка $p_0$ приходит в точку, из которой выходят стрелки $p_2$ (вверх вправо) и $p_1$ (вниз вправо); угол между ними обозначен $\alpha$.

Возможное решение. Из закона сохранения импульса $\left(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\right)$ получим $p_0^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\alpha$ , где $\alpha$ – угол разлёта (см. рис.).

При частично упругом столкновении кинетическая энергия налетающей шайбы больше суммы кинетических энергий шайб после столкновения. Здесь и далее кинетическую энергию удобно выразить через импульс: $E_{\text{кин}} = \dfrac{m\upsilon^2}{2} = \dfrac{p^2}{2m}$ .

$\dfrac{p_0^2}{2m} = \dfrac{p_1^2}{2m} + \dfrac{p_2^2}{2m} + Q$ ; где $Q$ – энергия, перешедшая в тепло в результате столкновения шайб.

Геометрия столкновения: налетающая шайба движется по траектории b со скоростью $\upsilon_0$ (горизонтальная стрелка); после удара одна шайба уходит по c со скоростью $\upsilon_2$ под углом 75° к вертикальной штриховой линии, другая — по a со скоростью $\upsilon_1$ под углом 45° к ней.

Тогда $\dfrac{p_0^2}{2m} > \dfrac{p_1^2}{2m} + \dfrac{p_2^2}{2m}$ . Подставляя $p_0^2$ , получим: $p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\alpha > p_1^2 + p_2^2$ , откуда $\cos\alpha > 0,\ 0 < \alpha < 90^{\circ}$ . Следовательно, в результате частично упругого столкновения шайбы разлетаются под острым углом, и траектория «b» принадлежит налетающей шайбе перед столкновением. Геометрия столкновения теперь выглядит так:

направив одну координатную ось вдоль траектории налетающей шайбы, а вторую – перпендикулярно, для проекций импульса на эти оси получим:

p_1\cos 45^{\circ} = p_2\cos 75^{\circ},

p_1\sin 45^{\circ} + p_2\sin 75^{\circ} = p_0.

Отношение расстояний, которые проходят шайбы до остановки, равно отношению их кинетических энергий сразу после столкновения:

\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_1^2}{p_2^2} = \left(\frac{\cos 75^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}\right)^2 \approx 0{,}13 \text{ или } \frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{\cos 45^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}\right)^2 \approx 7{,}46.

Найдём долю кинетической энергии, переходящую в тепло.

Q = E_0 - E_1 - E_2 = \frac{1}{2m}\left(p_0^2 - p_1^2 - p_2^2\right) = \frac{p_1p_2\cos\alpha}{m}

\frac{Q}{E_0} = 2\frac{p_1p_2\cos\alpha}{p_0^2}.

Рассмотрим треугольник скоростей:

Треугольник скоростей: горизонтальная сторона $\upsilon_0$, сторона $\upsilon_2$ под углом 15° к ней и сторона $\upsilon_1$, образующая с $\upsilon_0$ угол 45°.

Из теоремы синусов:

p_1 = p_0\frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 120^{\circ}};\quad p_2 = p_0\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}.

Окончательно получим:

\frac{Q}{E_0} = 2\frac{p_1p_2\cos 60^{\circ}}{p_0^2} = 2\frac{\sin 15^{\circ}\sin 45^{\circ}\cos 60^{\circ}}{\left(\sin 120^{\circ}\right)^2} \approx 0{,}24.

Критерии оценивания

1	Записан закон сохранения импульса	1 балл
2	Записан закон сохранения энергии с учетом потерь	1 балл
3	Аргументированно указано, какая из траекторий принадлежит налетающей шайбе. (Если аргументация отсутствует или не является обоснованной, то баллы за этот пункт не ставятся, но за дальнейшее решение баллы следует ставить согласно критериям	3 балла
4	Указано, что отношение пройденных до остановки путей равно отношению квадратов импульсов (скоростей) шайб	1 балл
5	Получено верное выражение для отношения путей: $S_1 / S_2$ или $S_2 / S_1$	1 балл
6	Получено верное численное значение для отношения путей	1 балл
7	Получено верное выражение для $Q / E_0$	1 балл
8	Получено верное численное значение для $Q / E_0$	1 балл

Оригинал в Архива: tasks-phys-10-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-10-teor-reg-19-20.pdf