Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 10. клас — Задача 10.3. Газировка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Условие

Вертикальный цилиндрический сосуд с поршнем, на котором лежит гиря m; сверху давление $p_0$, справа стрелка $\vec g$; под поршнем слой CO₂, ниже вода H₂O (заштрихована серым); слева стрелка высоты h от поршня до дна. — Рис. 2

В вертикальном цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем находятся вода и углекислый газ. Часть углекислого газа растворена в воде, а часть находится над водой в газообразном состоянии. Изначально вода занимает ровно половину объёма сосуда под поршнем (рис. 2). Расстояние от поршня до дна сосуда $h = 20$ см, площадь поршня $S = 10$ см $^2$ . На поршень поместили гирю массы $m_0$ и, в результате установления равновесия, поршень сместился вниз на $\Delta h_1 = 3{,}12$ см. Затем на поршень поместили ещё одну, точно такую же, гирю и поршень сместился ещё на $\Delta h_2 = 2{,}22$ см, вновь оказавшись в равновесии. Определите:

1) массу $m_0$ одной гири;

2) массу $m_2$ гири, которую необходимо добавить к двум первым, чтобы поршень опустился до поверхности воды.

Считайте, что температура в сосуде постоянна, и при растворении углекислого газа уровень воды не изменяется.

Поршень перемещается без трения. Атмосферное давление $p_0 = 10^5$ Па.

Примечание: масса газа, растворённого в жидкости, над которой находится этот же газ, прямо пропорциональна давлению этого газа (закон Генри).

Отговори

Решение

Возможное решение. Пусть в жидкости объёма $V_0$ при давлении $p$ растворяется газ, занимающий в виде газовой фазы объём $V$ при том же давлении $p$ . В соответствии с законом Генри $V = kV_0$ , и можно считать, что жидкость объёма $V_0$ представляет собой «дополнительный» объём для газа над жидкостью, помимо объёма, который занимает сам газ. В нашем случае при записи уравнения состояния, будем считать, что объём углекислого газа складывается из «дополнительного» объёма $V_0 = kSh/2$ и объёма между поршнем и поверхностью воды при неизменной массе газа. Обозначим $\Delta p$ – избыточное давление, которое создаёт гиря массы $m$ . Тогда после установки на поршень одной гири:

\left(p_0 + \Delta p\right)\left(kS\frac{h}{2} + S\left(\frac{h}{2} - \Delta h\right)\right) = p_0\left(kS\frac{h}{2} + S\frac{h}{2}\right).

Поделив обе части уравнения на $p_0S$ , получаем:

\left(1 + \frac{\Delta p}{p_0}\right)\left(\frac{h}{2}(k+1) - \Delta h_1\right) = \frac{h}{2}(k+1)

\left(1 + \frac{\Delta p}{p_0}\right)\Delta h_1 = \frac{\Delta p}{p_0}\frac{h}{2}(k+1). \qquad (1)

Для двух гирь:

\left(1 + \frac{2\Delta p}{p_0}\right)\left(\frac{h}{2}(k+1) - \Delta h_1 - \Delta h_2\right) = \frac{h}{2}(k+1);

\left(1 + \frac{2\Delta p}{p_0}\right)(\Delta h_1 + \Delta h_2) = \frac{2\Delta p}{p_0}\frac{h}{2}(k+1). \qquad (2)

Поделив (2) на (1) получаем

\frac{1 + \dfrac{2\Delta p}{p_0}}{1 + \dfrac{\Delta p}{p_0}}\cdot\frac{\Delta h_1 + \Delta h_2}{\Delta h_1} = 2

Подставив $\Delta h_1$ и $\Delta h_2$ , находим $\frac{\Delta p}{p_0} = 0{,}2$ , $m = \frac{\Delta pS}{g} = 2$ кг.

Далее из (1) находим $k = 0{,}87$ .

Пусть $\Delta p_x$ – избыточное давление на поршень, при котором он опустится до поверхности жидкости. Тогда

\left(p_0 + \Delta p_{\text{х}}\right)\frac{h}{2}kS = p_0\frac{h}{2}(k+1)S,

откуда $\Delta p_{\text{х}} \approx 1{,}15p_0$ , и общая масса груза на поршне при этом $m_x = \frac{\Delta pS}{g} = 11{,}5$ кг. Таким образом, дополнительно необходимо поставить на поршень груз $\Delta m = m_x - 2m \approx 7{,}5$ кг.

Критерии оценивания

1	Корректно записан закон Генри в форме, применимой для выбранного способа решения задачи: либо через объёмы, как в авторском решении, либо через количество вещества/массы растворённого газа в зависимости от внешнего давления.	1 балл
2	Записано уравнение состояния газа для первого опыта (с учётом растворённого газа)	2 балла
3	Записано уравнение состояния газа для второго опыта (с учётом растворённого газа)	1 балл
4	Получено правильное выражение для массы $m_0$ гири	1 балл
5	Получено правильное численное значение массы гири	1 балл
6	Записано уравнение состояния газа для случая растворения в воде всего газа	2 балла
7	Получено правильное выражение для общей массы всех гирь или массы $m_2$ дополнительной гири	1 балл
8	Получено верное численное значение массы дополнительной гири (если ученик забыл вычесть 2m, то балл не ставится)	1 балл

Оригинал в Архива: tasks-phys-10-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-10-teor-reg-19-20.pdf