ВсОШ 2020, Регионален етап, 10. клас — Задача 10.4. Крутится, вертится

• $T = \frac{T_0}{\cos\alpha},\quad \omega = \sqrt{\frac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{R - l\sin\alpha}}$

  В официальном решении формула для $\omega$ отпечатана с буквой $a$ вместо $\alpha$: $\omega = \sqrt{g\cdot tg(a)/(R - l\sin(a))}$.

Возможное решение. На каждый из шариков действуют: сила тяжести $m\vec g$, сила Архимеда и сила натяжения нити $\vec T$; в сумме они создают центростремительное ускорение, равное $\overrightarrow{a_{\text{цс}}} = -\omega^2\vec r$ ($\vec r$ – горизонтальный вектор, проведённый от оси вращения к шарику).

Для начала найдём, чему равна сила Архимеда в данной ситуации. Так как сила Архимеда – это сумма сил давления воды на всю поверхность шарика, то она не зависит от материала, из которого изготовлен шарик. Заменим исходный шарик на точно такой же, но сделанный из воды. Очевидно, что он будет неподвижен относительно основной массы воды, а значит, сумма действующих на него сил тяжести и Архимеда будет обеспечивать центростремительное ускорение.

откуда

Второй закон Ньютона для каждого из шариков будет выглядеть следующим образом:

Для удобства, перенесём слагаемое $m\omega^2\vec r$ в правую часть равенства

Заметим, что сумма $m\vec g + m\omega^2\vec r$ направлена строго против вектора силы Архимеда. Кроме того, из условия задачи следует, что плотность верхнего шарика меньше плотности воды, а нижнего – больше. Из этого следует, что если бы нити не было, то лёгкий шарик сдвигался бы к оси вращения, а тяжёлый – наоборот от оси. Из этого можно сделать вывод, что связанные нитью шарики будут находится по одну сторону от оси вращения.

Так как расстояние от шариков до оси вращения будет разным, то и сумма $m\vec g + \overrightarrow{F_{\text{арх}}} + m\omega^2\vec r$ будет направлена для каждого шарика под своим углом к горизонту. Это означает, что шарики не могут быть уравновешены только лишь силой натяжения нити, и равновесие возможно, только если тяжёлый шарик упирается в стенку сосуда.

Расставим все силы на рисунке.

Сила Архимеда, действующая на верхний шарик, коллинеарна сумме $m\vec g + m\omega^2\vec r$, тогда и сила натяжения нити должна быть ей коллинеарна.

Запишем второй закон Ньютона для лёгкого (верхнего) шарика в проекции на ось, перпендикулярную нити: $m_1g\sin\alpha = m_1\omega^2r_1\cos\alpha$

где $r_1$- расстояние от оси вращения до лёгкого шарика. $r_1 = R - l\sin\alpha$.

Из этих уравнений получим

Запишем второй закон Ньютона для тяжёлого шарика в проекции на вертикальную ось:

Откуда

Однако, из условия равновесия нижнего шарика до раскручивания можем записать

Тогда

Критерии оценивания

Альтернативное решение (Неинерциальная СО)

Перейдём в НИСО связанную с вращающимся сосудом. На каждый из шариков действуют: сила тяжести $m\vec g$, центробежная сила $m\omega^2\vec r$ ($\vec r$ – горизонтальный вектор, проведённый от оси вращения к шарику), сила Архимеда $-\rho_{\text{в}}V(\vec g + \omega^2\vec r)$ и сила натяжения нити $\vec T$. Заметим, что сумма силы тяжести и центробежной силы направлена строго против вектора силы Архимеда. Кроме того, из условия задачи следует, что плотность верхнего шарика меньше плотности воды, а нижнего – больше. Из этого следует, что если бы нити не было, то лёгкий шарик сдвигался бы к оси вращения, а тяжёлый – наоборот, от оси. Из этого можно сделать вывод, что связанные нитью шарики будут находиться по одну сторону от оси вращения.

Так как расстояние от шариков до оси вращения будет разным, то и сумма сил тяжести - центробежной и Архимеда - будет направлена для каждого шарика под своим углом к горизонту. Это означает, что шарики не могут быть уравновешены только лишь силой натяжения нити, и равновесие возможно только в случае, если тяжёлый шарик упирается в стенку сосуда.

Расставим все силы на рисунке.

Сила Архимеда, действующая на верхний шарик, коллинеарна сумме сил тяжести и инерции, тогда и сила натяжения нити должна быть ей коллинеарна.

Запишем второй закон Ньютона для лёгкого (верхнего) шарика в проекции на ось, перпендикулярную нити:

где $r_1$- расстояние от оси вращения до лёгкого шарика. $r_1 = R - l\sin\alpha$.

Из этих уравнений получим

Запишем второй закон Ньютона для тяжёлого шарика в проекции на вертикальную ось:

Откуда

Однако, из условия равновесия нижнего шарика до раскручивания можем записать.

Тогда

Критерии оценивания альтернативного решения