Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 11. клас — Задача 2. Магнитная пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Бележка

24 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00. 26 января состоится онлайн-разбор решений заданий экспериментального тура. Начало разбора: 7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

Условие

Невесомый гибкий провод с током $I$ образует замкнутую петлю длиной $L$ , которая соприкасается с вертикальной стенкой и гранью куба массой $m$ . Система находится в магнитном поле $B$ , перпендикулярном плоскости рисунка. Исходно куб удерживают на расстоянии $x_0$ от стенки.

1) До какой наибольшей скорости $\upsilon_m$ разгонится куб, если его отпустить?

2) Через какое время $t_m$ будет достигнута эта скорость?

Вертикальная стенка слева, куб массой m справа на горизонтальной поверхности; между ними петля провода с током I (стрелка вверх), внутри петли обозначено поле B, направленное из плоскости рисунка (точки в кружках).

Примечание. Считайте, что при движении куба провод остаётся в одной вертикальной плоскости.

Решение

Возможное решение. Рассмотрим равновесие (бесконечно) малого участка провода, не контактирующего со стенкой или гранью куба, имеющего радиус кривизны $R$ и угловой размер $\Delta\alpha$ . Запишем условия равновесия в проекциях на оси $x$ (проходит по касательной к проводу в середине участка) и $y$ (проходит через центр кривизны участка). Учтём, что сила Ампера $F_A = IB\Delta l = IBR\Delta\alpha$ :

\begin{cases} T_1\cos(\Delta\alpha/2) = T_2\cos(\Delta\alpha/2); \\ T_1\sin(\Delta\alpha/2) + T_2\sin(\Delta\alpha/2) = IBR\Delta\alpha. \end{cases}

Малый элемент провода (дуга) с силами натяжения T₁ и T₂ на концах, силой Ампера F_A, осями x и y и центральным углом Δα.

Из первого уравнения следует, что натяжение провода постоянно: $T_1 = T_2 \equiv T$ , из второго (с учётом малости $\Delta\alpha$ ) – что радиус кривизны постоянен на «свободных» участках провода: $R = T/(IB) = \mathrm{const}$ . Значит, эти участки – дуги окружностей. Одновременно мы замечаем, что сила натяжения – конечная величина, а остальные силы (сила Ампера, сила реакции стенки или грани куба) для любого элемента – бесконечно малые величины (порядка $\Delta l$ ), поэтому угол поворота провода на любом участке – тоже бесконечно малая величина порядка $\Delta l$ . Это означает, что в состоянии равновесия провод не имеет изломов. Поэтому можно сделать вывод, что в каждый момент времени после отпускания системы невесомый провод, находящийся в «квазиравновесном» состоянии, состоит из двух одинаковых полуокружностей с диаметром, равным $x$ , и двух одинаковых линейных участков, прижатых к стенке и грани куба. Следовательно, длина линейного участка провода, соприкасающегося с гранью куба, равна $l(x) = (L - \pi x)/2$ . Куб разгоняется за счёт давления этого участка, которое возникает из-за силы Ампера $F_A = IBl(x) = IB(L - \pi x)/2$ . Поэтому разгон, начинающийся при $x = x_0$ , заканчивается при $x = L/\pi$ , когда провод перестаёт соприкасаться с гранью куба.

Стенка, провод с током I в виде двух полуокружностей и прямых участков, куб; обозначены расстояние x, сила F_A, расстояние L/π до штриховой линии, ось y.

Обратим внимание, что поведение разгоняющий силы в точности совпадает с поведением силы упругости пружины длиной $L/\pi$ с коэффициентом жёсткости $k = \pi IB/2$ . Поэтому движение в процессе разгона соответствуют четверти периода гармонических «колебаний» на пружине от начальной деформации $y_0 = \dfrac{L}{\pi} - x_0$ до «положения равновесия». Максимальная скорость разгона

График силы F от x: убывающая прямая от F₀ при x₀ до нуля при L/π, заштрихованный треугольник под графиком.

\upsilon_m = \omega y_0 = y_0\sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{\pi I B}{2m}}\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right).

Другой способ вычисления максимальной скорости – это использование закона изменения кинетической энергии. Поскольку сила, действующая на куб, зависит линейным образом от его перемещения, то её работу можно вычислить как площадь под графиком $F(x) = IB(L - \pi x)/2$ . Следовательно, изменение кинетической энергии куба в процессе разгона

\frac{m\upsilon_m^2}{2} = A_F = \frac{1}{2}F_0\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right) = \frac{\pi IB}{4}\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right)^2,

то есть

\upsilon_m = \sqrt{\frac{\pi I B}{2m}}\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right).

Время разгона равно четверти «периода колебаний»: $t_m = \dfrac{\pi}{2\omega} = \sqrt{\dfrac{\pi m}{2IB}}$ .

Критерии оценивания.

№	результат	максимальный балл
1.	Доказано (с использованием условия равновесия провода), что участки провода, не соприкасающиеся со стенкой или гранью куба, имеют форму полуокружностей: постоянство радиуса кривизны на «свободных» участках – 1,5 балла; отсутствие изломов – 0,5 балла.	2
2.	Правильно найдена длина участка провода, соприкасающегося с гранью куба: указано (в том числе без доказательства), что в любой момент времени провод состоит из двух линейных участков и двух полуокружностей с диаметром, равным $x$ – 0,5 балла; получена формула $l(x) = \dfrac{L - \pi x}{2}$ – 0,5 балла.	1
3.	Указано (или используется в решении), что разгон куба прекращается при $x = L/\pi$	1
4.	Найдена величина силы, действующей на куб со стороны провода как функция расстояния $x$ : записано соотношение $F = IBl(x)$ – 0,5 балла; получена правильная формула $F_A = IB(L - \pi x)/2$ – 1,5 балла	2
5.	Правильно найдена величина максимальной скорости куба $\upsilon_m = \sqrt{\dfrac{\pi I B}{2m}}\left(\dfrac{L}{\pi} - x_0\right)$ . Из закона изменения энергии: правильно вычислена работа силы – 1 балл; получен правильный ответ для $\upsilon_m$ – 1 балл. Из кинематики гармонического движения: указано на гармоничность движения и записана формула $\upsilon_m = \omega y_0$ – 1 балл; получен правильный ответ для $\upsilon_m$ – 1 балл	2
6.	Правильно найдено время разгона $t_m = \sqrt{\dfrac{\pi m}{2IB}}$ : указано, что время разгона соответствует четверти «периода» гармонического движения – 1 балл; получен правильный ответ для $t$ – 1 балл	2
	ВСЕГО	10

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-11-teor-reg-19-20.pdf