Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 11. клас — Задача 5. Прозрачный шарик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Бележка

24 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00. 26 января состоится онлайн-разбор решений заданий экспериментального тура. Начало разбора: 7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

Условие

Лучи света, испускаемые точечным источником $S$ , падают на однородный шар из прозрачного материала с показателем преломления $n$ . Луч, вышедший из источника $S$ под углом $\alpha$ к прямой $MN$ , на которой лежат источник и центр шара, после двух преломлений на границе шара, пересекает $MN$ под углом $\beta$ в точке $K$ (см. рис.). Расстояние $SK = l$ .

Прямая MN с точками M, S, O, K, N; серый шар с центром O и показателем n; луч из S под углом α входит в шар, преломляется дважды и пересекает MN в точке K под углом β.

1) Определите расстояние $SO$ от источника до центра шара и радиус $R$ шара.

2) Вычислите $SO$ и $R$ для значений $n = 2,\ \alpha = 60^{\circ}C,\ \beta = 30^{\circ}C,\ l = 10$ см.

Решение

Возможное решение

рис.1.

Ход луча в шаре: источник S на прямой MN, луч падает на шар в точке B под углом падения φ, преломляется под углом θ, идёт к точке C на поверхности шара, где выходит под углом φ и пересекает MN в точке K под углом β; отмечены центр O, радиус R, угол α при S, показатель n, продолжения лучей SB и CK пересекаются в точке A (штриховые линии). — рис.1.

Пусть $B$ – точка падения луча, о котором идёт речь в задаче, на поверхность шара (рис.1.), $C$ – точка выхода луча из шара, $\varphi$ и $\theta$ – углы падения и преломления, связанные законом Снелла: $\sin\varphi = n\sin\theta$ , $A$ – точка пересечения продолжений лучей $SB$ и $CK$ . Так как треугольник $OBC$ – равнобедренный, то угол падения в точке $C$ равен углу преломления $\theta$ в точке $B$ . Согласно закону преломления угол преломления в точке $C$ будет равен углу падения $\varphi$ в точке $B$ . С учётом этого, по теореме синусов, для треугольников $SBO$ и $OCK$ :

\frac{SO}{\sin\varphi}=\frac{R}{\sin\alpha}\ \text{и}\ \frac{OK}{\sin\varphi}=\frac{R}{\sin\beta}.

Следовательно,

\frac{SO}{OK}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.

Тогда ответ на первый вопрос:

SO = l\frac{\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}.

Обратите внимание на то, что и в точке $B$ , и в точке $C$ угол отклонения луча при преломлении равен $\gamma=\varphi-\theta$ . Поэтому полный угол отклонения луча равен $2\gamma$ . Следовательно, $\angle SAK=\pi-(\alpha+\beta)=\pi-2\gamma$ , то есть $\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ . Таким образом, справедливо соотношение $\dfrac{\sin\varphi}{\sin\theta}=\dfrac{\sin\varphi}{\sin(\varphi-\gamma)}=n$ , из которого следует:

\sin\varphi = n\sin\varphi\cos\gamma - n\sin\gamma\cos\varphi.

Из последнего уравнения находим $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{n\sin\gamma}{n\cos\gamma-1}$ и $\sin\varphi=\dfrac{n\sin\gamma}{\sqrt{n^2-2n\cos\gamma+1}}$ .

Из теоремы синусов для треугольника $SBO$ следует $\dfrac{SO}{\sin\varphi}=\dfrac{R}{\sin\alpha}$ .

Запишем формулы для ответа на второй вопрос:

R = SO\frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}=l\frac{\sin\alpha\sin\beta\sqrt{n^2-2n\cos\gamma+1}}{(\sin\alpha+\sin\beta)\,n\sin\gamma}.

После подстановки заданных численных значений получаем: $SO = 3{,}66$ см, $R = 3{,}30$ см.

Критерии оценивания

Проведён анализ хода луча в шаре, то есть на рисунке отмечены углы падения и преломления для луча, падающего на шар, и луча, выходящего из шара 0,5 балла
Записан закон Снелла для этих лучей $\sin\varphi = n\sin\theta$ 0,5 балла
Указано (или используется в решении), что угол падения при входе луча в шар равен углу преломления при выходе из шара и угол преломления при входе в шар равен углу падения при выходе 1 балл
Получено соотношение $\dfrac{SO}{OK}=\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}$ или эквивалентное 1 балл
Получен верный ответ для $SO$ 1 балл
Получено верное выражение для связи угла поворота луча с углами $\alpha$ и $\beta$ $\left(\varphi-\theta=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$ или эквивалентное 1 балл
Получено верное выражение для угла падения или угла преломления через данные задачи 1 балл

Примечание: если это выражение получено другим корректным способом, без вычисления угла поворота луча, то балл за п.6 тоже ставится.

Получен верный ответ для $R$ 2 балла
Получено численное значение $SO$ 1 балл
Получено численное значение $R$ 1 балл

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-11-teor-reg-19-20.pdf