ВсОШ 2020, Регионален етап, 11. клас — Задача 4. Падающая гантель

Возможное решение

Определение скорости центра масс и угловой скорости

Вариант 1. Рассмотрим момент времени сразу после удара. Из закона сохранения энергии следует

где индексы 1 и 2 обозначают нижний и верхний шарики, соответственно.

Поскольку поверхность гладкая, сразу после удара скорость центра масс направлена вертикально вверх и находится из выражения

Из закона сложения скоростей $\vec{v}_{\text{отн}} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$ имеем

Угловая скорость вращения стержня равняется $\omega = \frac{v_{\text{отн}}}{L}$.

Таким образом, ответы на первый вопрос:

Вариант 2. Найти скорость центра масс и угловую скорость стержня можно также, используя теорему Кёнига:

Здесь $E_{\text{вр}} = 2m\frac{(\frac{\omega L}{2})^2}{2} = \frac{m\omega^2 L^2}{4}$ представляет собой кинетическую энергию вращения системы относительно центра масс, $v_c$ – скорость центра масс после удара. Поскольку поверхность гладкая, сразу после удара скорость центра масс направлена вертикально вверх и определяется выражением $\vec{v}_c = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$. С учётом перпендикулярности $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$

Из закона сохранения энергии $v_1^2 + v_2^2 = 2v_0^2$. Подставляя это в выражение для $v_c$, получаем

Подставляя выражения для $E_{\text{вр}}$ и $v_c$ в уравнение для $E_{\text{кин}}$, получим для угловой скорости тот же ответ, что и первым способом:

Примечание. Возможны другие варианты, комбинирующие закон сохранения энергии и условие перпендикулярности векторов. Все они оцениваются одинаково при корректном получении правильных ответов.

Определение угла $\varphi$

Вариант 1 (сохранение проекции импульса верхнего шарика)

Ответ можно получить, используя тот факт, что для верхнего шарика выполняется закон сохранения импульса в проекции на ось, перпендикулярную стержню. Этот факт следует из того, что единственная сила, действие которой на верхний шарик за бесконечно малое время соударения существенно – это сила реакции стержня, направленная строго вдоль стержня. До удара проекция скорости шарика на эту ось равна

После удара, воспользовавшись законом сложения скоростей, получим для проекции

Из этих двух уравнений, используя ранее полученные выше выражения для $v_c$ и $\omega$, получаем ответ для $\varphi$:

Вариант 2 (использование закона сохранения момента импульса)

Внешняя сила, действующая на гантель во время удара – сила нормальной реакции гладкой поверхности – имеет нулевое плечо относительно точки удара нижнего шарика о поверхность. Поэтому момент импульса гантели относительно оси, проходящей через эту точку, сохраняется. При этом момент импульса гантели относительно этой оси равен моменту импульса верхнего шарика 2, а скорость которого после удара $\vec{v}_2 = \vec{v}_c + \vec{v}_{\text{вр}2}$. Мы уже знаем, что сразу после удара скорость центра масс направлена вертикально вверх и равна по величине $v_c = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$. Скорость вращения $\vec{v}_{\text{вр}2}$ направлена перпендикулярно стержню, а её модуль $|\vec{v}_{\text{вр}2}| = \frac{\omega L}{2} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$. Поэтому закон сохранения момента импульса имеет вид

Выражая из этого соотношения синус искомого угла, получим $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.

Итак, $\varphi = \arcsin(\sqrt{2}-1) \approx 24{,}5^{\circ}$.

Вариант 3 (использование закона изменения момента импульса)

В случае непостоянства момента импульса относительно выбранной точки мы должны учесть изменение момента импульса из-за внешних сил. В рамках данной задачи момент импульса может меняться только под действием реакции поверхности. Из теоремы о движении центра масс найдём импульс, переданный поверхностью шарикам,

Запишем закон изменения момента импульса относительно центра масс:

Отсюда, используя ранее полученные выражения для $v_c$ и $\omega$, получаем ответ для $\varphi$.

Вариант 4 (использование векторных диаграмм).

Поскольку стержень невесом, а время удара мало, изменение импульса верхнего шарика $\Delta\vec{P}$ направлено вдоль стержня. Представим скорость этого шарика двумя способами:

Здесь $\vec{v}_{\text{вр}2}$ - скорость верхнего шарика в системе центра масс после удара. Поскольку стержень твёрдый, $\frac{\Delta\vec{P}}{m}$ и $\vec{v}_{\text{вр}2}$ перпендикулярны. Изобразим это геометрически.

Поскольку $v_{\text{вр}2} = \frac{\omega L}{2}$, из прямоугольного треугольника получим:

Критерии оценивания

Ответ на вопрос 1 (5 баллов)

Вариант 1 (кинематика)

1. Из закона сохранения энергии получено $v_1^2 + v_2^2 = 2v_0^2$ — 1 балл
2. Записано выражение для скорости центра масс $\vec{v}_c = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$ — 0,5 балла
3. Получено верное выражение для скорости центра масс $v_c = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ — 1 балл
4. Выражение для угловой скорости вращения через относительную скорость шариков $\omega = \frac{v_{\text{отн}}}{L}$ — 1 балл
5. Выражение для относительной скорости движения шариков $v_{\text{отн}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ — 0,5 балла
6. Получено верное выражение для угловой скорости $\omega = \frac{v_0\sqrt{2}}{L}$ — 1 балл

Всего: 5 баллов

Вариант 2 (использование теоремы Кёнига)

1. Использовано при решении выражение для кинетической энергии гантели после удара в виде $E_{\text{кин}} = 2m\frac{v_c^2}{2} + E_{\text{вр}} = m v_0^2$ — 1 балл
2. Из закона сохранения энергии получено $v_1^2 + v_2^2 = 2v_0^2$ — 0,5 балла
3. Из определения скорости центра масс $\vec{v}_c = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$ и закона сохранения энергии $v_1^2 + v_2^2 = 2v_0^2$, с учётом перпендикулярности $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, получено выражение для $v_c$, а именно $v_c = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ — 1,5 балла
4. Использовано для решения выражение для энергии вращения в системе центра масс $E_{\text{вр}} = \frac{m\omega^2 l^2}{4}$ — 1 балл
5. Получено верное выражение для угловой скорости $\omega = \frac{v_0\sqrt{2}}{L}$ — 1 балл

Всего: 5 баллов

Ответ на вопрос 2 (5 баллов)

Вариант 1 (сохранение проекции импульса верхнего шарика) вдоль

1. Указано, что сила, действующая на верхний шарик, направлена стержня и проекция импульса на перпендикулярное направление сохраняется — 1 балл
2. Выражение для проекции импульса верхнего шарика на направление, перпендикулярное стержню до удара, $p_x = m v_0 \sin\varphi$ — 1 балл
3. Выражение для проекции импульса верхнего шарика после удара на направление, перпендикулярное стержню, с использованием полученных выражений для скорости центра масс и угловой скорости вращения $p_x = m(\frac{\omega L}{2} - v_c \sin\varphi_0)$ — 2 балла
4. Получен верный ответ для $\varphi$ — 1 балл

Всего: 5 баллов

Вариант 2 (использование закона сохранения момента импульса)

1. Записан закон сохранения момента импульса относительно точки удара нижнего шарика о поверхность — 3 балла
2. С использованием ранее полученных результатов для $v_c$ и $\omega$ получен верный ответ для $\varphi$ — 2 балла

Всего: 5 баллов

Вариант 3 (использование закона изменения момента импульса)

1. Выражение для импульса, полученного гантелей при столкновении с поверхностью $P_N = 2m(v_0 + v_c)$ — 1 балл
2. Записан закон изменения момента импульса относительно выбранной участником точки — 2 балла
3. С использованием ранее полученных результатов для $v_c$ и $\omega$ получен верный ответ для $\varphi$ — 2 балла

Всего: 5 баллов

Вариант 4 (использование векторных диаграмм)

1. Указано, что сила, действующая на верхний шарик, направлена вдоль стержня — 1 балл
2. Записано выражение для скорости верхнего шарика после удара в векторной форме через изменение импульса для верхнего шарика $\vec{v}_2 = \vec{v}_0 + \frac{\Delta\vec{P}}{m}$ — 1 балл
3. Записано выражение для скорости верхнего шарика после удара в векторной форме через скорость центра масс и скорость второго шарика в системе центра масс $\vec{v}_2 = \vec{v}_c + \vec{v}_{\text{вр}2}$ — 1 балл
4. Использована векторная диаграмма и перпендикулярность $\vec{v}_2$ и $\Delta\vec{P}$ — 1 балл
5. Получен верный ответ для $\varphi$ — 1 балл

Всего: 5 баллов