Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 9. клас — Задача 1. Термостат

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Условие

В термостате поддерживается постоянная температура, которая выше температуры окружающей среды. Это осуществляется с помощью нагревательного элемента, работающего в составе цепи (см. рис.). В этой цепи источник можно считать идеальным, сопротивление нагревательного элемента $R_{\mathrm{Н}}$ в 4 раза меньше полного сопротивления реостата $R$ , а $x$ - это доля длины реостата, включённая в данный момент в цепь.

Схема цепи: источник, реостат с полным сопротивлением R, ползунок отсекает долю длины x; последовательно включён нагревательный элемент R_Н.

При температуре внешней среды $t_1 = 25^{\circ}\mathrm{C}$ для поддержания требуемой температуры ползунок реостата стоит в положении $x_1 = 0{,}65$ , при $t_2 = 20^{\circ}\mathrm{C}$ ползунок реостата стоит в положении $x_2 = 0{,}35$ . Какой должна быть величина $x$ при температуре внешней среды $t_3 = 13^{\circ}\mathrm{C}$ ? Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур термостата и окружающей среды.

Решение

Возможное решение

Сопротивление реостата в зависимости от $x$ равно $xR$ .

Сила тока в цепи нагревателя

I = \frac{U}{R(x+0{,}25)}.

Тепловая мощность, выделяющаяся на нагревательном элементе, составит

P_H = I^2 R_H = \frac{U^2}{R}\frac{0{,}25}{(x+0{,}25)^2}.

При установившейся температуре мощность нагревателя равна мощности тепловых потерь в окружающую среду:

P_H = P_{\text{потерь}} = \alpha(t_0 - t),

где $\alpha$ – постоянный коэффициент, $t_0$ – температура термостата, $t$ – текущая температура среды.

Применительно к двум известным ситуациям это уравнение теплового баланса даст систему уравнений:

\begin{cases}\dfrac{U^2}{R}\dfrac{0{,}25}{0{,}81} = \alpha(t_0 - 25^{\circ}\mathrm{C}),\\[2mm] \dfrac{U^2}{R}\dfrac{0{,}25}{0{,}36} = \alpha(t_0 - 20^{\circ}\mathrm{C}).\end{cases}

Решая систему, находим $t_0 = \mathbf{29}\ {}^{\circ}$ С.

Для третьего случая уравнение баланса запишется в виде:

\frac{U^2}{R}\frac{0{,}25}{(x_3+0{,}25)^2} = \alpha(29^{\circ}\mathrm{C} - 13^{\circ}\mathrm{C}).

Решая это уравнение совместно с любым из уравнений системы, находим $x_3$ = 0,2.

Критерии оценивания

Получено правильное выражение для мощности нагрева — 2 балла a) Указана зависимость сопротивления резистора от $x$ — 0,5 балла
b) Получена общая сила тока — 0,5 балла
c) Получено выражение для мощности нагревателя — 1 балл
Использовано условие установившейся температуры термостата — 1 балл
Правильно применено условие баланса мощностей — 2 балла a) Для первого случая — 1 балл
b) Для второго случая — 1 балл
Правильно найдена температура термостата — 2 балла
Правильно применено условие баланса мощностей в третьем случае — 1 балл
Получено значение для $x_3$ — 2 балла a) Получено правильное выражение — 1 балл
b) Получено правильное значение — 1 балл

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-9-teor-reg-19-20.pdf