Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 9. клас — Задача 2. Силовой тренажёр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Условие

На спортивной площадке установлен тренажёр, схема которого показана на рисунке. Спортсмен, сидя на кресле, поднимает сам себя, прикладывая к верхнему рычагу некоторую силу $F$ . Система рычагов и шарниров обеспечивает плоскопараллельное перемещение кресла. При отсутствии спортсмена для уравновешивания тренажёра (верхний рычаг принимает горизонтальное положение) на кресло необходимо поместить груз $m = 3{,}7$ кг.

Какую вертикальную силу $F$ должен прикладывать к рычагу человек массой $M_0 = 86$ кг для того, чтобы, сидя в кресле (не касаясь земли), удерживать рычаг в горизонтальном положении?

Длины рычагов, которые могут потребоваться при расчётах:

$a_1 = 27{,}5$ см; $a_2 = 13{,}0$ см; $a_3 = 17{,}5$ см; $b_1 = 73{,}5$ см; $b_2 = 8{,}5$ см.

Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ .

Два чертежа тренажёра: слева спортсмен массой M_0 сидит в кресле и тянет верхний рычаг вниз; справа на кресле стоит груз m. Обозначены длины b_2, b_1 (верхний рычаг), a_2, a_1 (нижние тяги), a_3 (расстояние между нижними шарнирами) и направление g.

Решение

Схема тренажёра со спортсменом массой M₀: спортсмен сидит в кресле и тянет верхний рычаг; обозначены плечи b₂, b₁, a₂, a₁, a₃ и направление g.

Схема тренажёра без спортсмена: на кресле груз m, уравновешивающий систему; обозначены плечи b₂, b₁, a₂, a₁, a₃ и направление g.

Возможное решение. Рычаги в системе обладают массой. Суммарный момент сил тяжести, связанных с этими массами, компенсируется моментом веса груза массы $m$ . Значит, для их учёта достаточно вычесть массу $m$ из массы человека $M_0$ .

Человек в кресле: силы F (вверх, на руку), N (вверх, от кресла) и M₀g (вниз).

Сила давления человека на кресло меньше силы тяжести на величину силы $F$ .

Вертикальная штанга с силами T на концах (точка B) и нижняя горизонтальная штанга с горизонтальными силами N₂ (точка A).

Рассмотрим силы, действующие на вертикальную и нижнюю горизонтальную штанги. Отметим, что их силы тяжести мы скомпенсируем уменьшением массы человека. Из рисунка видно, что сила $N_2$ может быть только горизонтальной, иначе момент сил относительно т. $A$ будет отличен от нуля (на самом деле её вертикальную составляющую мы учли при уменьшении массы). Аналогично, сила $T$ может быть только вертикальной, иначе момент сил относительно т. $B$ будет отличен от нуля.

Кресло с силами: N₁ (наклонная, в верхнем шарнире), (M₀ − m)g − F (вниз), N₂ (горизонтальная, в нижнем шарнире).

Расставим силы, действующие на кресло. Для равновесия необходимо равенство вертикальных компонент сил:

N_{1\text{верт}} = (M_0 - m)g - F \qquad (1)

Расставим силы, действующие на среднюю горизонтальную штангу. Для равновесия необходимо равенство моментов $N_1$ и $T$ относительно точки $O$ :

T a_2 = N_{1\text{верт}} a_1 \qquad (2)

Верхняя штанга: точка C, плечи b₂ и b₁, силы T (вверх), N₄ (вниз) и F (вниз на правом конце).

Расставим силы, действующие на верхнюю штангу. Для равновесия необходимо равенство моментов $F$ и $T$ относительно точки $C$ :

T b_2 = F(b_1 + b_2) \qquad (3)

Средняя горизонтальная штанга: плечи a₂ и a₁, точка O, силы T (вниз), N₃ (наклонная) и N₁ (наклонная вниз).

Решая совместно все уравнения, полученные из условий равновесия, получаем ответ:

F = \frac{a_1 b_2}{a_1 b_2 + a_2 b_2 + a_2 b_1}(M_0 - m)g \qquad (4)

Подставляем численные данные и получаем окончательный ответ: $F = 148$ Н.

Критерии оценивания

Использована идея с исключением моментов сил тяжести внутри механизма путём уменьшения массы человека на $m$ — 1 балл
Учтено уменьшение силы взаимодействия человека со стулом на $F$ — 1 балл
Обоснована горизонтальность $N_2$ — 1 балл
Получено условие равновесия стула (1) — 1 балл
Использовано условие равновесия средней штанги (2) — 1 балл
Использовано условие равновесия вертикальной штанги — 1 балл
Использовано условие равновесия верхней штанги (3) — 1 балл
Получено выражение для $F$ (4) — 2 балла
Получен правильный численный ответ — 1 балл

Примечание к критериям

Если в решении нет идеи из п.1, но моменты сил тяжести внутри механизма учтены в решении, то балл за п.1 выставляется в полной мере. Тогда нет необходимости показывать горизонтальность $N_2$ .
Для выполнения п.4, п.5, п.7 может быть записан любой аналог уравнений (1-3).
Если в решении не выполнен п.2, то баллы могут быть выставлены только за пункты 1, 3, 5, 6, 7.

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-9-teor-reg-19-20.pdf