Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 9. клас — Задача 5. Нелинейный мост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Условие

Электрическая цепь, изображённая на рисунке, состоит из трёх одинаковых нелинейных элементов, двух резисторов и двух идеальных амперметров. Сила тока через нелинейный элемент пропорциональна квадратному корню из напряжения на нём:

I = a\sqrt{U}.

Мостовая схема: два нелинейных элемента (лампы) в левых плечах, два резистора в правых плечах, в диагонали моста последовательно амперметр A и третий нелинейный элемент; на выходе цепи последовательно включён второй амперметр A.

Известно, что один из амперметров показывает величину силы тока $I_x$ , а другой $I_y$ , причём $I_x > I_y$ . Определите силу тока в каждом из элементов цепи.

Решение

Схема цепи: три одинаковых нелинейных элемента (два в левых ветвях, один в средней ветви с амперметром), два резистора в правых ветвях и амперметр в общем проводе.

Возможное решение

Из двух заданных токов наибольший ( $I_x$ ) является общим током цепи, так как это наибольший из возможных токов в данной схеме, а $I_y$ - током в нелинейном элементе. Расставим токи в цепи.

Схема моста с расставленными токами: нелинейные элементы Л₁ (ток I₁), Л₂ (ток I₂), Л₃ с амперметром (ток I_y), резисторы R₁ (ток I₃) и R₂ (ток I₄), общий амперметр с током I_x.

Из ВАХ нелинейного элемента следует, что $U=\dfrac{I^2}{a^2}$

Напряжение на Л1 равно $U_{Л1}=\dfrac{I_1^2}{a^2}$ . С другой стороны, это напряжение равно сумме напряжений на Л2 и Л3: $U_{Л1}=U_{Л2}+U_{Л3}=\dfrac{I_2^2}{a^2}+\dfrac{I_y^2}{a^2}$ . Дополним систему условием на сумму токов $I_1$ и $I_2$ :

\begin{cases}\dfrac{I_1^2}{a^2}=\dfrac{I_2^2}{a^2}+\dfrac{I_y^2}{a^2}\\ I_1+I_2=I_x\end{cases}

Решаю систему получаем выражения для $I_1$ и $I_2$ :

I_1=\frac{I_x^2+I_y^2}{2I_x}

I_2=\frac{I_x^2-I_y^2}{2I_x}

Токи $I_3$ и $I_4$ найдём из условия разветвления токов в узлах:

\begin{cases}I_3=I_1+I_y\\ I_2=I_4+I_y\end{cases}

I_3=\frac{(I_x+I_y)^2}{2I_x}

I_4=\frac{I_x^2-2I_xI_y-I_y^2}{2I_x}

Критерии оценивания

Обосновано, что $I_x$ это сила общего тока цепи, а $I_y$ - сила тока через Л3 — 1 балл
Получено правильное выражение для напряжения на нелинейном элементе — 1 балл
Указано равенство падений напряжений в контуре с Л1, Л2 и Л3 — 2 балла
Использовано условие разветвления токов $I_1$ и $I_2$ — 1 балл
Получено правильное выражение для $I_1$ — 1 балл
Получено правильное выражение для $I_2$ — 1 балл
Использованы условия разветвления токов $I_3$ и $I_4$ — 1 балл
Получено правильное выражение для $I_3$ — 1 балл
Получено правильное выражение для $I_4$ — 1 балл

Примечание к критериям

Правильное решение неавторским методом оценивается в 10 баллов.
В п.1 критериев балл ставится за объяснение какая сила тока проходит через каждый амперметр. Если токи расставлены правильно, но нет объяснения, то этот балл не ставится, но задача проверяется дальше.
В п.3 могут быть использованы правила Кирхгофа для контура с нелинейными элементами, рассмотрено распределение потенциалов в этом контуре или аналогичные им уравнения.
Для нахождения токов $I_3$ и $I_4$ может использоваться разветвление с участием $I_y$ , так и разветвление $I_x$ .

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-9-teor-reg-19-20.pdf