Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 9. клас — Задача 4. Четыре города

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Условие

Четыре города расположены в вершинах квадрата $ABCD$ (см. рис). Параллельно направлению $AD$ дует сильный ветер (из $A$ в $D$ ) со скоростью $\upsilon$ . Два одинаковых самолёта вылетают из города $A$ и движутся по разным маршрутам: первый по $ABDA$ , второй по $ADCA$ ( $BD$ и $CA$ – «четвертинки» окружности). Найдите отношение времён движения самолётов по маршрутам $\dfrac{t_{ABDA}}{t_{ADCA}} = ?$ Скорость самолёта при отсутствии ветра равна $u$ .

Карта с четырьмя островами-городами A (внизу слева), B (вверху слева), C (вверху справа), D (внизу справа) в вершинах квадрата; показаны маршруты: сплошная линия A–B–D (дуга BD) –A и пунктирная A–D–C–A (дуга CA); стрелками обозначен ветер v, направленный от A к D.

Решение

Карта с четырьмя островами-городами A, B, C, D в вершинах квадрата; сплошной маршрут A–B–D (дуга BD)–A и пунктирный A–D–C–A (дуга CA); ветер υ направлен от A к D.

Возможное решение. Сравним времена движения по соответствующим участкам.

Так как скорости на участках $AB$ и $DC$ одинаковы, то и $t_{AB} = t_{DC}$ .
Время движения на участке $AD$ $t_{AD} = \dfrac{l}{u+\upsilon}$ , время движения на участке $DA$ $t_{DA} = \dfrac{l}{u-\upsilon}$ , а выигрыш во времени $t_{DA} - t_{AD} = \Delta t_1 = \dfrac{l}{u-\upsilon} - \dfrac{l}{u+\upsilon} = \dfrac{2l\upsilon}{u^2-\upsilon^2}$
Сравним времена движения на $BD$ и $CA$ . Рассмотрим маленький участок $\Delta l$ на траектории $BD$ .

Векторная диаграмма на участке BD: касательная τ и нормаль n к траектории, угол α, векторы скорости ветра υ, собственной скорости u и результирующей w₁ вдоль касательной.

Скорость самолёта относительно земли $w_1$ равна векторной сумме скорости ветра $\upsilon$ и собственной скорости самолёта $u$ . Введём систему координат с осями, направленными вдоль и нормально к траектории в данной точке. Чтобы вектор $w_1$ был направлен по касательной к траектории, должны выполняться равенства:

\begin{cases} u_n = -\upsilon_n \\ u_\tau + \upsilon_\tau = w_1 \end{cases} \Rightarrow w_1 = u_\tau + \upsilon_\tau = \sqrt{u^2 - u_n^2} + \upsilon\sin(\alpha)

Участок малой длины $\Delta l$ самолёт пролетит за время $\Delta t_{BD1} = \dfrac{\Delta l}{w_1} = \dfrac{\Delta l}{\sqrt{u^2 - u_n^2} + \upsilon\sin(\alpha)}$ .

Аналогично рассмотрим симметричный первому маленький участок длиной $\Delta l$ на траектории $CA$ .

Векторная диаграмма на симметричном участке CA: касательная τ и нормаль n, угол α, векторы υ, u и результирующая w₂ вдоль касательной.

Скорость самолёта относительно земли $w_1$ равна векторной сумме скорости ветра $\upsilon$ (не изменилась) и собственной скорости самолёта $u$ (изменилась по направлению). Введём систему координат с осями, направленными вдоль и нормально к траектории в данной точке. Чтобы вектор $w_2$ был направлен по касательной к траектории, должны выполняться равенства:

\begin{cases} u_n = -\upsilon_n \\ u_\tau - \upsilon_\tau = w_2 \end{cases} \Rightarrow w_2 = u_\tau - \upsilon_\tau = \sqrt{u^2 - u_n^2} - \upsilon\sin(\alpha).

Участок малой длины $\Delta l$ самолёт пролетит за время $\Delta t_{CA1} = \dfrac{\Delta l}{w_2} = \dfrac{\Delta l}{\sqrt{u^2 - u_n^2} - \upsilon\sin(\alpha)}$ .

Разность времён прохождения малых участков:

\Delta t_{BD1} - \Delta t_{CA1} = \frac{\Delta l}{\sqrt{u^2-u_n^2} + \upsilon\sin(\alpha)} - \frac{\Delta l}{\sqrt{u^2-u_n^2} - \upsilon\sin(\alpha)} = \Delta l\,\frac{(\sqrt{u^2-u_n^2} - \upsilon\sin(\alpha)) - (\sqrt{u^2-u_n^2} + \upsilon\sin(\alpha))}{u^2 - u_n^2 - \upsilon^2\sin^2(\alpha)}.

Учтём, что $u_n^2 = \upsilon_n^2$ , $\upsilon^2\sin^2(\alpha) = \upsilon_\tau^2$ , а $\upsilon_\tau^2 + \upsilon_n^2 = \upsilon^2$ , следовательно,

\Delta t_{BD1} - \Delta t_{CA1} = \frac{-2\upsilon\Delta l\sin(\alpha)}{u^2 - \upsilon^2}. \qquad (1)

Отметим, что $\Delta l\sin(\alpha)$ – это смещение вдоль ветра, а остальные величины в выражении постоянные. Поэтому, просуммировав значения (1) для всех участков траекторий $CA$ и $BD$ , получим задержку $\Delta t_2 = \dfrac{-2\upsilon l}{u^2 - \upsilon^2}$ , которая совпадает с задержкой $\Delta t_1$ , но имеет противоположный знак.

Значит, время движения по этим двум маршрутам одинаковое!

\frac{t_{ABDA}}{t_{ADCA}} = 1.

Критерии оценивания

Указано, что $t_{AB} = t_{DC}$ . — 0,5 балла
Правильно выражено время движения на участке $AD$ — 1 балл
Правильно выражено время движения на участке $DA$ — 1 балл
Правильно найден выигрыш во времени $\Delta t_1$ — 1 балл
Найдено время движения на малых симметричных участках — 4 балла Для каждого участка:
a) Идея векторного сложения скоростей — 0,5 балла
b) Идея с проецированием на нормальную и тангенциальную оси — 0,5 балла
c) Выражение для скорости самолёта через компоненты — 0,5 балла
d) Выражение для времени движения — 0,5 балла
Получено выражение [1] или аналог — 1 балл
Правильно найдена задержка $\Delta t_2$ — 1 балл
Сделан вывод о равенстве времён движения по двум траекториям — 0,5 балла

Примечание к критериям

При неправильном решении можно поставить 1 балл по п.5.a, если в решении используется идея векторной суммы скоростей.
Если в п.7 неправильно указан знак, то балл всё равно засчитывается, ошибка будет в последнем пункте.

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-9-teor-reg-19-20.pdf