Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, първи тур — Задача 2. Шарнир и колечко

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 15 т.

Условие

В вертикальной плоскости находятся два невесомых стержня, соединённых шарниром массы $M$ . На свободном конце верхнего стержня закреплён груз массы $m$ , а на свободном конце нижнего стержня закреплено лёгкое колечко, которое может скользить по гладкой горизонтальной закреплённой спице. Длина верхнего стержня $l$ , длина нижнего стержня $L > l$ . Изначально стержни составляют углы $\alpha$ с горизонтом и удерживаются неподвижно. Затем их отпускают.

Шарнир M, от которого вверх-вправо под углом α к горизонтальной штриховой линии идёт стержень длины l с грузом m на конце, а вниз-вправо под углом α — стержень длины L, конец которого с колечком надет на горизонтальную спицу; справа стрелка вниз с подписью g.

Найдите:

1) Ускорения шарнира $a_{\text{ш}0}$ и грузика $a_{\text{г}0}$ сразу после начала движения.

2) Ускорение колечка $a_{\text{к}}$ в момент времени, когда шарнир, груз и колечко окажутся на одной прямой.

Считайте, что стержни и спица тонкие и все тела могут пролетать мимо друг друга не соударяясь. Ускорение свободного падения $g$ .

Отговори

Решение

Возможное решение (А. Уймин). Рассмотрим нижний стержень. Так как он невесомый, то векторная сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует сила реакции опоры со стороны спицы, направленная вертикально вверх, и некоторая сила со стороны шарнира $M$ . Значит сила, действующая с стороны шарнира, должна быть направлена вертикально вниз. Если стержень лёгкий, то нулю также должна равняться и сумма моментов действующих на него сил. Вместе с предыдущим условием это означает, что сила реакции опоры со стороны спицы, как и сила, действующая на стержень со стороны шарнира равны нулю.

Рассмотрим теперь верхний стержень вместе с шарниром и грузом. На него действуют две силы тяжести и сила со стороны нижнего стержня. Последняя по третьему закону Ньютона противоположна силе, с которой шарнир действует на нижний стержень, а она равна нулю. Тогда на верхний стержень, шарнир и груз действуют только силы тяжести, значит они двигаются вертикально вниз с постоянным ускорением $a_{\text{ш}0} = a_{\text{г}0} = g$ , а стержень сохраняет ориентацию в пространстве.

Шарнир кольцо и груз окажутся на одной прямой, когда верхний стержень опустится ниже спицы и нижний стержень опять будет составлять угол $\alpha$ с горизонтом.

Запишем закон сохранения энергии и выразим скорость короткого стержня в этот момент времени. К этому времени он переместился по вертикали на расстояние $\Delta h = 2L\sin\alpha$ , поэтому

\frac{(M + m)\upsilon^2}{2} = (M + m)g2L\sin\alpha; \Rightarrow \upsilon^2 = 4gL\sin\alpha.

Пусть $u$ – скорость колечка в интересующий нас момент времени.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с колечком. В этой СО шарнир движется по окружности радиуса $L$ . Его скорость $\vec{\upsilon}_{\text{отн}} = \vec{\upsilon} - \vec{u}$ и направлена перпендикулярно стержню, поэтому $\upsilon_{\text{отн}} = \upsilon/\cos\alpha$ .

Направим ось $x$ так, как показано на рисунке. Найдём нормальную составляющую ускорения шарнира в этой СО.

a_n = g_x - a_x = -g\sin\alpha + a_{\text{к}}\cos\alpha = \frac{\upsilon_{\text{отн}}^2}{L}.

Тогда

a_{\text{к}} = \frac{\upsilon_{\text{отн}}^2}{L\cos\alpha} + g\,\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{4gL\sin\alpha}{L\cos^3\alpha} + g\,\mathrm{tg}\,\alpha = g(5 + 4\,\mathrm{tg}^2\alpha)\,\mathrm{tg}\,\alpha.

№	Задача 1.10.2. Критерии оценивания (15 баллов)	Баллы
1	Силы, действующие на большой стержень, равны нулю.	2
2	Малый стержень движется равноускоренно и не меняет ориентацию в пространстве.	2
3	Найдены начальные ускорения груза и шарнира.	1
4	Найдено расположение стержней в момент времени, соответствующий второму вопросу.	2
5	Найдена скорость стержня	2
6	Записан достаточный набор верных уравнений для определения ускорения колечка	3
7	Найдено ускорение колечка	3

Нижний стержень, наклонённый под углом α к горизонтали, с колечком на горизонтальной спице и осью x вдоль стержня; у шарнира вектор a_n вдоль стержня, вертикальный вектор g, горизонтальный вектор -a; ниже треугольник скоростей: вертикальная υ, горизонтальная -u и υотн под углом α к вертикали.

Оригинал в Архива: tasks-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf