Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, първи тур — Задача 3. Воздушный шар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 10 т.

Условие

Оболочка воздушного шара изготовлена из нерастяжимой плотной ткани с массовой поверхностной плотностью $\sigma$ (масса 1 м $^2$ поверхности оболочки численно равна $\sigma$ ). Если оболочку полностью заполнить газом, то она приобретает форму сферы радиусом $r$ . В пустую оболочку закачивают некоторое количество гелия.

1) При каких значениях массы $m$ гелия шар будет подниматься?

2) Какому соотношению должны удовлетворять параметры шара, чтобы его подъём был возможен?

Молярная масса гелия $M_{\mathrm{He}}$ , воздуха – $M_{\text{В}}$ , атмосферное давление $p_0$ , температура – $T$ . Объем шара $V = 4\pi r^3/3$ , площадь сферы $S = 4\pi r^2$ .

Отговори

Решение

Возможное решение (А. Аполонский). В зависимости от количества закачанного гелия объем шара $V$ таков, что $V \le 4\pi r^3/3$ .

Пока оболочка не раздулась до максимального объёма, давление гелия внутри равно атмосферному. Максимальное значение объёма достигается при массе закачанного гелия $m_0 = \dfrac{4\pi}{3}r^3\dfrac{p_0 M_{\mathrm{He}}}{RT}$ . При массе гелия $m < m_0$ объем шара $V = \dfrac{m}{M_{\mathrm{He}}}\dfrac{RT}{p_0}$ .

Здесь $R$ – универсальная газовая постоянная.

Для того, чтобы при этой массе гелия шар начал подниматься, необходимо, чтобы сила Архимеда была больше силы тяжести:

\rho_B Vg > mg + 4\pi r^2\sigma g. \qquad (1)

Здесь $\rho_B = p_0 M_{\text{В}}/(RT)$ – плотность воздуха. Подставляя выражения для $V$ и $\rho_B$ в условие (1), получаем

m\left(\frac{M_{\text{В}}}{M_{\mathrm{He}}} - 1\right) > 4\pi r^2\sigma \quad \text{или} \quad m > \frac{4\pi r^2\sigma M_{\mathrm{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}}}. \qquad (2)

Если масса гелия $m > m_0$ , то условие (1) выглядит так:

\frac{4\pi r^3}{3}\frac{p_0 M_{\text{В}}}{RT} > m + 4\pi r^2\sigma \quad \text{или} \quad m < 4\pi r^2\left(\frac{p_0 M_{\text{В}} r}{3RT} - \sigma\right). \qquad (3)

С учётом (2) и (3) условие для массы гелия, при которой шар поднимет сам себя

\frac{4\pi r^2\sigma M_{\mathrm{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}}} < m < 4\pi r^2\left(\frac{p_0 M_{\text{В}} r}{3RT} - \sigma\right).

Если левая часть этого неравенства больше правой, то шар не поднимется ни при каких массах. Это произойдёт, если $\dfrac{\sigma M_{\mathrm{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}}} > \dfrac{p_0 M_{\text{В}} r}{3RT} - \sigma$ , или $r < \dfrac{3RT\sigma}{p_0(M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}})}$ .

Окончательный ответ на вопрос задачи:

При $r > \dfrac{3RT\sigma}{p_0(M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}})}$ условие на полёт: $\dfrac{4\pi r^2\sigma M_{\mathrm{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}}} < m < 4\pi r^2\left(\dfrac{p_0 M_{\text{В}} r}{3RT} - \sigma\right)$ .

При $r < \dfrac{3RT\sigma}{p_0(M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}})}$ шар не взлетит.

№	Задача 1.10.3. Критерии оценивания (10 баллов).	Баллы
1	Отмечено, что при малых значениях массы гелия, закачанного в оболочку, его давление будет атмосферным, а объем $V = \dfrac{m}{M_{\mathrm{He}}}\dfrac{RT}{p_0}$ .	1
2	Определена масса гелия $m_0 = \dfrac{4\pi}{3}r^3\dfrac{p_0 M_{\mathrm{He}}}{RT}$ , превышение которой не приведёт к изменению объема шара	1
3	Получено выражение для плотности воздуха $\rho_B = \dfrac{p_0 M_{\text{В}}}{RT}$	1
4	Записано условие плавания шара $\rho_B Vg > mg + 4\pi r^2\sigma g$ .	1
5	Найдена нижняя граница массы гелия $\dfrac{4\pi r^2\sigma M_{\mathrm{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}}}$	2
6	Найдена верхняя граница массы гелия $4\pi r^2\left(\dfrac{p_0 M_{\text{В}} r}{3RT} - \sigma\right)$ .	2
7	Указано, что шар взлетит, если $r > \dfrac{3RT\sigma}{p_0(M_{\text{В}} - M_{\mathrm{He}})}$	2

Оригинал в Архива: tasks-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf