Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, първи тур — Задача 4. Псевдоэксперимент «Вязкое трение»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 10 т.

Условие

Известно, что при падении бумажного конуса на него действует сила $F_{\text{сопр}}$ вязкого трения о воздух, зависящая от скорости движения конуса: $F_{\text{сопр}} = k\upsilon^n$ . Изучите падение бумажного конуса при его разных массах и определите значения коэффициента $n$ . Погрешность оценивать не нужно.

Примечание: в математике часто используется функция логарифма, которая является обратной к функции возведения в степень. По свойствам данной функции если $F_{\text{сопр}} = k\upsilon^n$ , то $\ln(F_{\text{сопр}}) = \ln(k) + n\ln(\upsilon)$ . Значение логарифма от некоторого числа можно вычислить на калькуляторе.

Оборудование. Два сборных фотодатчика, блок питания, электронные весы, USB-осциллограф, ноутбук, отвес, линейка, ножницы, клей, выкройка для конуса, пластилин, салфетка, миллиметровка для построения графиков.

Описание установки

Фотография установки с пронумерованными стрелками: 1 — электронные весы, 2 — блок питания, 3 — пластилин и нитка, 4 — верхний фотодатчик, 5 — нижний фотодатчик (ящик), 6 — USB-осциллограф, 7 — ноутбук, 8 — элемент на блоке питания, 9 — бумажный конус в ящике.

Установка позволяет с большой точностью определять время свободного падения бумажного конуса на участке, где движение конуса является равномерным. Для измерения времени движения конуса используется система из двух сборных фотодатчиков (верхнего 4 и нижнего 5), сигнал с которых через USB-осциллограф 6 поступает в ноутбук 7.

Фотография верхнего фотодатчика: красный луч лазера 13 идёт к фотоэлементу 12; номера 12 и 13 указаны белыми стрелками.

Верхний сборный фотодатчик состоит из лазера 13 и фотоэлемента 12. При пересечении конусом луча лазера напряжение на фотоэлементе изменяется.

Нижний сборный фотодатчик представляет собой квадратный ящик, две противоположные стенки которого изнутри обклеены плоскими зеркалами. На боковой стенке ящика закреплен лазер 10, луч которого, многократно отразившись от зеркал, попадает на фотоэлемент 11, двигаясь все время в одной горизонтальной плоскости. При падении конуса внутрь ящика луч лазера гарантированно перекрывается и напряжение на фотоэлементе изменяется.

Фотография нижнего фотодатчика сверху: ящик с зеркальными стенками, красной ломаной линией показан многократно отражённый луч лазера; белыми стрелками с цифрой 1 отмечены лазер и фотоэлемент.

Расстояние от луча верхнего лазера, до плоскости, образуемой лучами нижнего лазера, равно $(23{,}0 \pm 0{,}5)$ см.

Фотоэлементы 11 и 12 соединены в электрическую цепь последовательно друг с другом и подключены к USB-осциллографу, который преобразует значение суммарного напряжения на фотоэлементах в цифровой вид и передает в ноутбук 7. На ноутбуке установлена специальная программа, отображающая график зависимости напряжения от времени с точностью до 0,5 мс. С помощью полученного графика можно определить время движения конуса между двумя пересечениями лучей лазеров.

Для определения массы конуса 9 используются электронные весы 1. Для изменения массы конуса внутрь него помещают небольшие кусочки пластилина.

Порядок проведения измерений

Внутрь конуса помещается некоторое количество пластилина и на электронных весах определяется общая масса конуса с пластилином.
Конус размещается острием вниз на расстоянии примерно 60-70 см над верхним лазером и отпускается. Расстояние в 60-70 см гарантирует, что при подлете конуса к верхнему лазеру его движение будет практически равномерным.
В окне программы по зависимости суммарного напряжения от времени определяются и заносятся в таблицу 7 параметров:
- T1, T2 – времена начала и окончания первого провала;
- T3, T4 - времена начала и окончания второго провала;
- $U_0$ – постоянный уровень напряжения;
- U1, U2 – уровни напряжений, соответствующие первому и второму провалам.
Опыты повторяются с другой массой пластилина внутри конуса.

Схематичный рисунок бумажного конуса острием вниз: эллипс основания сверху и две образующие, сходящиеся к вершине внизу.

Осциллограмма зависимости напряжения U, В (от −0,3 до 0,8) от времени t, с (отметки 5,789; 5,875; 5,962; 6,048; 6,134; 6,221): уровень около 0,45 В с глубоким провалом до ~0,12 В между T1 и T2 и неглубоким провалом до ~0,41 В между T3 и T4; синими линиями отмечены уровни U0, U1, U2 и моменты T1, T2, T3, T4.

Полученные данные:

масса конуса с пластилином, мг	$T_1$ , мс	$T_2$ , мс	$T_3$ , мс	$T_4$ , мс	$U_0$ , В	$U_1$ , В	$U_2$ , В
533	161	181	372	386	0,450	0,123	0,406
600	128	143	331	341	0,450	0,136	0,407
700	192	198	372	381	0,450	0,127	0,402
790	546	552	715	723	0,450	0,123	0,410
894	133	149	289	301	0,450	0,126	0,402
990	120	131	257	277	0,450	0,122	0,392
1125	570	576	694	709	0,450	0,122	0,403

Отговори

Решение

Возможное решение (М. Карманов). Для начала разберемся какие данные нам нужны и как их обрабатывать. В условии сказано, что после запуска конуса его движение на участке между датчиками можно считать равномерным. В этом случае действующая на конус сила тяжести уравновешивается силой сопротивления, значит можем записать $F_{\text{сопр}} = mg$ , где $m$ – масса конуса с пластилином.

Так как движение равномерное то скорость можно вычислить как $\upsilon = L/t$ , где $L$ – расстояние между датчиками, а $t$ – время полета между датчиками. Из условия $L = (23{,}0 \pm 0{,}5)$ см.

Осталось разобраться со временем. В таблице приведены 4 временные отметки и нужно понять какие из них нам нужны.

Конус в разрезе (вид сбоку) — треугольник вершиной вниз — и две вертикальные красные линии, возможные траектории луча лазера относительно конуса: 1 проходит у вершины, 2 — у края основания.

Рассмотрим конус и то, как он пересекает луч лазера. На рисунке представлен конус (вид сбоку) и две возможные траектории луча лазера относительно конуса. Как видно из рисунка невозможно определить на какой высоте находился конус, когда он перекрыл луч лазера, а вот определить, когда луч лазера перестает перекрываться конусом, положение конуса задано однозначно. Значит нам нужны времена $T_2$ и $T_4$ . Тогда $\upsilon = L/(T_4 - T_2)$ .

$m$ , мг	$T_2$ , мс	$T_4$ , мс	$F_{\text{сопр}}$ , $10^{-3}$ Н	$\upsilon$ , м/с	ln( $F_{\text{сопр}}$ )	Ln( $\upsilon$ )
533	181	386	5,22	1,122	-5,25	0,115
600	143	341	5,88	1,162	-5,14	0,150
700	198	381	6,86	1,257	-4,98	0,229
790	552	723	7,74	1,345	-4,86	0,296
894	149	301	8,76	1,513	-4,74	0,414
990	131	277	9,70	1,575	-4,64	0,454
1125	576	709	11,03	1,729	-4,51	0,548

Из условия известно, что $F_{\text{сопр}} = k\upsilon^n$ , тогда $\ln(F_{\text{сопр}}) = \ln(k) + n\ln(\upsilon)$ .

Для определения параметра $n$ построим график в логарифмических координатах.

График на миллиметровке: по вертикали ln Fсопр от −5,3 до −4,5, по горизонтали ln V от 0,1 до 0,6; семь экспериментальных точек и штриховая аппроксимирующая прямая.

Из графика найдем угловой коэффициент (и координату точки пересечения с вертикальной осью). Получаем $n = 1{,}64$ .

№	Задача 1.10.4. Критерии оценивания (10 баллов).	Баллы
1	Для определения скорости выбраны времена $T_2$ и $T_4$	1
2	Выбор в п. 1 обоснован	1
3	Из условия установившегося движения сделан вывод о равенстве сил сопротивления силе тяжести	1
4	Вычислена сила сопротивления для всех опытов	1
5	Вычислена скорость для всех опытов	1
6	Выполнена линеаризация зависимости	1
7	Построен график для определения параметров эксперимента	2
8	Найдено значение $n = 1{,}65 \pm 0{,}10$	2
	$n \in (1{,}45 \div 1{,}55) \cup (1{,}75 \div 1{,}85)$ (1 балл)

Оригинал в Архива: tasks-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf