ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, втори тур — Задача 4. Гидростатический «серный ящик»

Задача 2.10.4. Гидростатический «серный ящик». (15 баллов). Внутри «серого ящика», имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, находятся тонкие перегородки, которые могут быть расположены только вдоль пунктирных линий (см. рисунки) перпендикулярно боковым стенкам ящика (боковыми называются стенки, на которых нарисована стрелка). Перегородки могут начинаться и заканчиваться либо на стенках «серого ящика», либо в точках пересечения пунктирных линий. Перегородки полностью перекрывают расстояние между боковыми стенками и непроницаемы как для воды, так и для воздуха. С помощью имеющегося оборудования определите расположение перегородок и их размеры. Толщиной перегородок и стенок «серого ящика» можно пренебречь. Оценивать погрешность не нужно.

Оборудование

«Серый ящик», шприц с иглой, полоска миллиметровой бумаги, стакан с жидкостью, пустой стакан, ножницы, скотч.

P.S. От вас требуется обработать приведенные ниже измерения и сделать выводы. В качестве ответа необходимо привести схему расположения перегородок в «сером ящике». Ответ должен быть обоснован и не противоречить имеющимся данным, которые получены экспериментальным путем и поэтому содержат погрешности.

Описание оборудования

«Серый ящик» - квадратная коробочка небольшой толщины с жесткими непрозрачными стенками серого цвета. На рисунке показана боковая стенка коробочки. В одном из углов коробочки есть отверстие (А). В противоположном углу сделано отверстие (Б), в которое помещен вращающийся штуцер с закрепленной на нем прозрачной трубочкой. Штуцер и трубочка не съемные, но трубочку можно поворачивать в положение 1, или в положение 2. Шприц медицинский объемом 100 мл с ценой деления 1 мл. Игла для шприца. Полоска миллиметровой бумаги шириной 1 см и длиной 15 см. Пластиковый стакан (объемом 200 мл) с подкрашенной жидкостью, которая плохо смачивает трубку и стенки коробочки. Пустой пластиковый стакан (объемом 200 мл). Ножницы канцелярские. Небольшая бобина узкого скотча.

Проделанные эксперименты и результаты измерений

Опыт №1. Измерение размеров коробочки.

С помощью полоски миллиметровой бумаги измерим размеры коробочки. Они равны $100\ \mathrm{мм} \times 100\ \mathrm{мм} \times 10\ \mathrm{мм}$. Измерим расстояние между пунктирными линиями, а также от пунктирных линий до стенок коробочки. Все эти расстояния равны 10 мм.

Опыт №2. Измерение внешнего диаметра трубки.

Для измерения внешнего диаметра трубки измерим длину ее окружности. Для этого намотаем на трубку полоску миллиметровой бумаги. Сделаем 2 оборота. Длинна намотанной части бумаги равна 8,9 см.

Опыт №3. Измерение внутреннего диаметра трубки.

Наберем в шприц жидкость, затем присоединим шприц (без иглы) к трубке и выдавим часть жидкости в трубку так, чтобы жидкость образовывала сплошной цилиндр без пузырьков воздуха. Объем выдавленной жидкости равен 8 мл. С помощью полоски миллиметровой бумаги измерим длину части трубки, заполненной жидкостью. Она равна 8,0 см.

Опыт №4. Установим коробочку на горизонтальный стол так, чтобы нарисованная на ней стрелка указывала вверх. Наберем в шприц 100 мл жидкости и будем заливать её в коробочку порциями через отверстие А так, чтобы за каждую порцию уровень воды в трубочке поднимался на 5 мм. Уровень $h$ жидкости в трубочке будем измерять от нижней стенки коробочки с помощью полоски миллиметровой бумаги, приклеенной к коробочке.

Полученные измерения $h(V_4)$ занесем в таблицу. Если при достаточно большом увеличении объема жидкости в коробочке уровень в трубочке не изменяется, то запишем в таблицу два крайних значения объемов, соответствующих этому уровню.

Опыт №5. Выльем всю жидкость из коробочки. При этом заметим, что после простого переворота коробочки из нее вытекает не вся жидкость. Чтобы извлечь из коробочки всю жидкость ее нужно наклонять под разными углами и трясти. По звуку определим, что нам удалось вылить всю жидкость из коробочки. Установим коробочку также, как в опыте №4.

Теперь будем заливать жидкость через отверстие Б, в которое вставлена трубочка. Для этого наберем в шприц 100 мл жидкости, наденем на него иглу и аккуратно проткнем иглой трубочку в самом низу. Таким образом мы сможем подавать жидкость в самое основание трубочки. Снимем аналогичную зависимость $h(V_5)$ – уровня жидкости в трубочке от объема налитой жидкости. Полученные данные занесем в таблицу.

Опыт №6. Вновь удалим всю жидкость из коробочки. Заклеим дырочку в трубочке с помощью скотча. Поставим коробочку так, чтобы стрелка смотрела вправо, а трубочка располагалась в положении 2. Повторим те же действия, что в опыте №4, заливая жидкость через открытое отверстие А. Полученные данные $h(V_6)$ занесем в таблицу.

Опыт №7. Опять удалим всю жидкость из коробочки и повторим опыт №5, но расположив коробочку как в опыте №6. Полученные данные $h(V_7)$ занесем в таблицу.

Таблица

Возможное решение. (М. Карманов).

1. Обратим внимание, что при заливании жидкости в «серый ящик» часть ее оказывается в трубочке. Вычислим площадь внутреннего сечения трубочки. Из опыта №3 следует, что площадь внутреннего сечения трубочки равна $S_{тр} = 1{,}0\ \mathrm{см}^2$. Это значит, что в полностью заполненной трубочке будет находиться 10 мл жидкости, что сравнимо с общим объемом залитой жидкости. Пересчитаем значения в таблице, вычтя из них объем $S_{тр}h$ жидкости в трубочке. Построим графики зависимости $h(V)$.

График для 4 и 5 опытов.

Плюсиками отмечены точки, соответствующие заливанию жидкости «сверху», а крестики – «снизу». Как видно, графики отличаются только для участка 0-30 мм.

При заливании жидкости «сверху» она сначала заполняет некоторую полость, расположенную сбоку от нижнего отверстия. Объем этой полости равен 9 мл. Учитывая, что после 30 мм графики идут совершенно одинаково, можно сделать вывод, что при заполнении «снизу» эта же полость заполняется при уровне воды в 30 мм. То есть высота перегородки, отделяющей эту полость от отверстия, равна 30 мм. Также заметим, что при заливании «снизу» полость начала заполняться после того, как было залито 9 мл жидкости. То есть объем пространства справа от перегородки тоже равен 9 мл. Нарисуем самый простой из возможных вариантов, соответствующих этому условию. Красным обозначены перегородки, в которых мы более-менее уверены, а синим - которые расположены весьма условно.

Подсчитаем эффективную площадь, заполняемую жидкостью, при различных ее уровнях. Из графика видно, что на уровне 30-50 мм заполняется площадь в 6 см$^2$, 50-70 мм – 3 см$^2$, 70-100 мм – 7 см$^2$.

Разберемся с уровнем 30-50 мм. Должны заполняться только 6 клеток в ряду из 4-х. Правые 4 клетки должны заполняться, так как иначе при заливании жидкости снизу не будет ее перетока через перегородку. Предположим, что стенка находится слева.

Разберемся с уровнем 70-100 мм. Там заполняется 7 клеток в ряду и обязана заполняться клетка, прилегающая к отверстию. Пусть перегородками отрезана область размером 3х3. Если эта область располагается не в правом верхнем углу, а сдвинута левее, то в зазор между этой областью и правой стенкой жидкость все равно не сможет забежать, так как там образуется воздушный пузырь, значит область расположена в правом верхнем углу. Собственно, нижняя горизонтальная перегородка этой области не обязательна, так как жидкость в любом случае не будет затекать в нее.

Перейдем к рассмотрению 6 и 7 опытов.

График для 6 и 7 опытов.

Из графика видно, что заполнение сверху и снизу идет одинаково, с той лишь разницей, что при заполнении сверху изначально жидкость заполняет полость объемом 10 мл, которая при заполнении снизу заполняется при уровне жидкости в 50 мм. Заполняемые площади для каждого уровня равны: 0-30 мм – 10 см$^2$, 30-50 мм – 5 см$^2$, для участка 50-100 мм нельзя гарантированно утверждать, что график линейный. Но, если он линейный, то заполняемая площадь равна 2 см$^2$.

При заполнении снизу до уровня 30 мм заполняется все сечение коробочки, значит там отсутствуют вертикальные (для этого положения коробочки) перегородки.

Далее, заметим, что при уровне в 50 мм в коробочку вмещается 50 мл жидкости при заполнении хоть сверху, хоть снизу. То есть при уровне в 50 мм должна быть заполнена вся нижняя (для этого расположения коробочки) половина коробочки. Также учтем, что при заполнении сверху, жидкость должна сначала заполнять полость объемом 10 мл, эта полость может располагаться только на уровне от 30 до 50 мм, но при заполнении этого уровня снизу, заполняемая площадь равна 5 см$^2$. Тогда по сути единственный возможный вариант расположения этой полости следующий:

Вернемся к 4 и 5 опытам.

В правом верхнем углу у нас образовалась полость объемом 15 мл. Полный объем жидкости, вмещающейся в коробочку равен 85 мл, то есть незаполненным остается как раз объем полости в правом верхнем углу, а все остальное пространство должно быть заполнено.

На уровне 50-70 мм должно заполняться три клеточки в ряду, а после 70 мм идет заполнение полости объемом 27-28 мл. Самый простой способ обеспечить эти условия – поднять синюю стенку до уровня 70 мм. Также чтобы жидкость из верхнего отверстия не попадала в левую полость, нужна горизонтальная перегородка. Такое расположение перегородок полностью соответствует данным опытов 4 и 5.

Вернемся к опытам 6 и 7.

Первая проблема заключается в том, что теперь при подъеме жидкости до уровня в 40 мм правая синяя стенка запрет воздух в левом верхнем углу и не позволит заполнять эту полость. Значит, синюю стенку надо укоротить. Общий объем жидкости, вмещающейся в коробочку при таком расположении равен 60 мл, то есть полость объемом 40 мл не должна быть заполнена, и она явно расположена в левом верхнем углу коробочки. Кроме того, начиная с уровня 50 мм должно заполняться только по 2 клеточки в ряд, что соответствует объему в 10 мл. Тогда нужно перенести синюю перегородку левее и укоротить ее.

Получим окончательный вариант расположения перегородок, не противоречащий исходным данным.

Задача 2.10.4. Критерии оценивания (10 баллов)