ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, втори тур — Задача 3. На складе

Возможное решение (М. Карманов).

Вопросы №1, 2.

Разместим зеркало на стене $EF$. Для начала предположим, что зеркало покрывает всю стену. Построим изображение склада в зеркале. Изображение, создаваемое плоским зеркалом, симметрично исходному предмету относительно плоскости зеркала. Построим изображение $A_1B_1$ стены склада. Нам нужно, чтобы лучи от всех точек изображения стены склада доходили до поста охраны. Построим крайние лучи $A_1O$ и $B_1O$. Именно эти лучи и задают границы зеркала $Z_1Z_2$. Все остальные нужные нам лучи будут лежать между этими крайними лучами. Размеры зеркала можно найти из подобия треугольников $OB_1A_1$ и $OZ_1Z_2$. Их стороны относятся также как высоты

откуда

Вопросы №3, 4

Для начала аналогично пунктам 1 и 2 построим изображения стены $AD$ склада в зеркале, размещенном на заборе $EH$.

Как видно из построений угол $D$ склада не позволяет увидеть в зеркале всю стену $AD$. Можно увидеть лишь ее половину $SD$. Значит одного зеркала недостаточно.

Добавим еще одно зеркало на стену $AD$, чтобы луч, вышедший из точки $A$ после отражения от зеркала на заборе, попадал бы в зеркало на стене склада, затем опять в зеркало на заборе и доходил до поста охраны.

Проще всего визуализировать ход такого луча, если при каждом отражении от зеркала изгибать не сам луч, а отражать относительно зеркала пространство, в котором он перемещается. Запустим луч в обратном направлении из точки $O$ к точке $A$. Сначала он должен отразиться от зеркала на заборе. При этом можно считать, что луч продолжил движение по прямой, а склад отразился симметрично забору. После отражения от зеркала на стене склада также можно считать, что лучик продолжил движение по прямой, но забор нужно отразить симметрично относительно склада и т.д.

Из получившегося рисунка видно, что для того, чтобы увидеть часть склада $AS$ нужно разместить на стене склада зеркало от точки $S$ почти до угла $D$, а зеркало на заборе $EH$ должно идти о точки $Z_4$ до точки $Z_5$.

Таким образом достаточно двух зеркал. А раз одного недостаточно, то очевидно – два является минимально возможным числом.

Есть и другой вариант решения. Второе зеркало можно расположить не на стене $AD$ склада, а на заборе $QH$. Построим аналогичным образом ход лучей для этого случая. Как видно из рисунка можно добиться обзора всей стены за счет размещения зеркала $Z_6Z_7$ на стене $EH$ и зеркала $Z_8Z_9$ на стене $QH$.