ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, първи тур — Задача 2. Доставка воды пневмопочтой

• 50% (половина); L ≈ 77 см

  Официальный ответ: $L \approx \frac{m}{2\rho S}\left[1 + \frac{241}{220\varepsilon}\right] = \frac{1271m}{132\rho S} \approx 77$ см.

Возможное решение (К. Парфёнов). В установившемся режиме поршни и вода движутся равноускоренно, причем величина ускорения $a = \dfrac{(p_1 - p_2)S}{3m} = \dfrac{(1{,}5p_H - 0{,}5p_H)S}{3m} = \dfrac{p_H S}{3m}$, где $p_H$ – давление насыщенного водяного пара при температуре $T$. Из уравнения движения поршня 1 («позади» порции воды) следует, что давление воды на него $p' = p_1 - \dfrac{ma}{S} = \dfrac{7}{6}p_H$. Из этого ясно, что у поверхности этого поршня вода находится в жидком состоянии. Аналогично из уравнения движения поршня 2 находим, что на у его поверхности давление воды $p'' = p_2 + \dfrac{ma}{S} = \dfrac{5}{6}p_H$, то есть здесь вода является паром. На границе раздела фаз давление равно $p_H$, и, поскольку вода несжимаема, то из уравнения движения для слоя жидкой воды находим толщину этого слоя: $\rho Sh\cdot a = (p' - p_H)S \Rightarrow h = \dfrac{m}{2\rho S}$. Поэтому масса жидкой воды $m_l = \rho Sh = \dfrac{m}{2}$, то есть в жидком состоянии находится половина (50%) массы воды.

Теперь в области, занятой водяным паром, выделим слой пара толщиной $\Delta x$ и запишем уравнение движения для него (под действием сил давления): $\rho_n S\Delta x\cdot a = -\Delta pS$, где плотность пара, в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона, равна $\rho_n = \dfrac{\mu p}{RT}$. Таким образом, толщина слоя, на котором давление убывает на величину $\Delta p < 0$, равна $\Delta x = -\dfrac{3mRT}{\mu p_H S}\dfrac{\Delta p}{p} = -\dfrac{3m}{\varepsilon\rho S}\dfrac{\Delta p}{p}$. Здесь учтено, что $\dfrac{\mu p_H}{RT} = \rho_H = \varepsilon\rho$. На всем участке пара давление падает не очень значительно – от $p_H$ до $p'' = \dfrac{5}{6}p_H$. Поэтому толщина слоя пара может быть приближенно вычислена по этой формуле с $-\Delta p = \dfrac{1}{6}p_H$ и средней величиной давления $p \approx \dfrac{1}{2}\left(p_H + \dfrac{5}{6}p_H\right) = \dfrac{11}{12}p_H$. Таким образом, $H \approx \dfrac{6m}{11\varepsilon\rho S} \approx 73$ см. Значит, расстояние между поршнями $L = H + h \approx \dfrac{m}{2\rho S}\left[1 + \dfrac{12}{11\varepsilon}\right] \approx 77$ см. Допустимо также использовать среднее значение обратного давления $\dfrac{1}{p} \approx \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_H} + \dfrac{6}{5p_H}\right) = \dfrac{11}{10p_H}$. В этом случае $H \approx \dfrac{11m}{20\varepsilon\rho S} \approx 73$ см и $L \approx \dfrac{m}{2\rho S}\left[1 + \dfrac{11}{10\varepsilon}\right] \approx 77$ см. Ясно, что эти выражения дают для искомой величины оценки «сверху» и «снизу», поэтому разумно взять их среднее: $H \approx \dfrac{241m}{440\varepsilon\rho S} \approx 73$ см и $L \approx \dfrac{m}{2\rho S}\left[1 + \dfrac{241}{220\varepsilon}\right] \approx 77$ см. Поскольку в рамках требуемой точности все эти подходы дают одинаковый ответ, все они являются допустимыми.

ОТВЕТ: 50% (половина), $L \approx \dfrac{m}{2\rho S}\left[1 + \dfrac{241}{220\varepsilon}\right] = \dfrac{1271m}{132\rho S} \approx 77$ см.

Примечание 1. Участники, знакомые с интегрированием, могут вычислить $H$ и $L$ более аккуратно: толщина слоя пара $H = \dfrac{3m}{\varepsilon\rho S}\cdot\displaystyle\int_{p''}^{p_H}\dfrac{dp}{p} = \dfrac{3m}{\varepsilon\rho S}\ln\left(\dfrac{6}{5}\right)$, и расстояние между поршнями $L = H + h = \dfrac{m}{2\rho S}\left[1 + \dfrac{6}{\varepsilon}\ln\left(\dfrac{6}{5}\right)\right] \approx 77$ см. Такие ответы также засчитываются как полностью правильные. Нетрудно заметить, что по точной (76,93 см) и приближенной (77,03 см) формулам разность ответов менее 0,14% (примерно 0,1 см).

Примечание 2. Отметим также, что пренебрежением объемом жидкой воды дает ошибку более 5% (толщина слоя жидкой воды равна 4 см). Использование при вычислении толщины слоя пара «крайних» значений давления ($p_H$ или $5p_H/6$) вместо среднего вносит ошибку более 8%. Поэтому эти ошибки существенны на заданном уровне точности, и в этом случае баллы за решение несколько снижаются.

Примечание 3. указанные плотности воды и водяного пара имеют место при температуре около +295°С.