ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, първи тур — Задача 3. Полетели

• 1) Изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое разгоняет частицу; траектория — дуга окружности, переходящая после выключения поля в луч, проходящий через ось магнита.

• 2) $\upsilon = \frac{qxB_0}{2m}$

• 3) $u = \frac{qxB_0}{2m}\sin\left(\alpha/2\right),\quad \alpha = \frac{\tau qB_0}{m}$

• 4) 0

  Минимальное расстояние от оси магнита при любых значениях τ и x равно нулю.

• 5) $\Delta t = \tau + \frac{2m}{qB_0}\,\mathrm{ctg}\left(\frac{\tau qB_0}{2m}\right)$

Возможное решение (А. Аполонский). При включении изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое, которое действует на частицу и сообщает ей некоторую скорость. Из соображений симметрии ясно, что силовые линии этого вихревого поля – концентрические окружности с центром на оси магнита. Согласно закону электромагнитной индукции, вектор $\vec{E}_{\text{вихр}}$ направлен (при указанном на рисунке направлении магнитного поля) по часовой стрелке при включении поля и против нее – при выключении. Определим величину напряженности вихревого электрического поля $E_{\text{вихр}}$ в месте расположения частицы. Величина ЭДС индукции $\mathrm{E}$ в контуре радиуса $x$ определяется скоростью изменения магнитного потока

С другой стороны $\mathrm{E} = 2\pi xE_{\text{вихр}}$. Отсюда

Поскольку $m\dfrac{d\upsilon}{dt} = qE_{\text{вихр}}$, за малый промежуток времени $dt$ изменение скорости частицы

За все время установления постоянного значения $B_0$ изменение скорости составит

Эта скорость сонаправлена с $\bar{E}_{\text{вихр}}$, т. е. направлена «по часовой стрелке» перпендикулярно радиусу, проведенному от оси полюсов электромагнита. Поэтому далее, в течение времени $\tau$ частица движется (под действием силы Лоренца) по окружности радиуса

с периодом обращения

Отметим, что окружность проходит через ось $O$ полюсов электромагнита, а по условию $\tau < \dfrac{\pi m}{qB_0} = \dfrac{T}{2}$, то есть до момента выключения магнитного поля частица успевает пролететь менее половины этой окружности. На рис. 1 $B$ – точка, в которой находилась частица в начальный момент времени, $C$ – точка, в которой будет частица через время $\tau$ в момент выключения поля, $D$ – центр окружности, по которой движется частица.

Положение частицы на окружности в момент времени $\tau$ задается углом

а расстояние $\left|OC\right|$ до оси $O$ магнита при этом равно $x_1 = 2R\cos\left(\alpha/2\right) = x\cos\left(\alpha/2\right)$.

При выключении магнитного поля из-за действия вихревого электрического поля скорость частицы изменится на величину $\upsilon_1 = \dfrac{qx_1B_0}{2m} = \upsilon\cos\left(\alpha/2\right),$ причем вектор $\vec{\upsilon}_1$ направлен перпендикулярно отрезку $OC$, в то время, как вектор $\vec{\upsilon}$ перпендикулярен $DC$ (см. рис. 1). После выключения поля результирующая скорость частицы $\vec{u} = \vec{\upsilon} + \vec{\upsilon}_1.$

Нетрудно заметить, что составляющая вектора $\vec{\upsilon}$, перпендикулярная $CO$, равна по величине $\upsilon_\perp = \upsilon\cos\left(\alpha/2\right)$, то есть $\vec{\upsilon}_\perp + \vec{\upsilon}_1 = 0.$ Значит, вектор $\vec{u}$ направлен вдоль отрезка $CO$, проходящего через ось электромагнита. Вдоль этого отрезка и движется частица после выключения магнитного поля. Скорость $u$ ее движения при этом

Таким образом, траектория BCO движения частицы представляет собой дугу окружности, переходящую в луч, проходящий через ось магнита. Минимальное расстояние от оси магнита при любых значениях τ и $x$ равно нулю.

Время от момента включения поля до момента пролета через центр магнита

где $\dfrac{\alpha}{2} = \tau\dfrac{qB_0}{2m}$.