Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, първи тур — Задача 4. Эффект Холла

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 14 т.

Условие

Электроны являются носителями тока в металлах и полупроводниках $n$ -типа. Если образец с током (в данном случае прямоугольный кусочек плёнки полупроводника $n$ -типа) помещён в магнитное поле и через него протекает электрический ток, то на движущиеся электроны действует сила Лоренца $F = e\upsilon B$ , перпендикулярная скорости $\vec{\upsilon}$ электрона и вектору $\vec{B}$ магнитной индукции (рис. 1).

Прямоугольная пластинка (плёнка) толщиной d, шириной b и длиной L в аксонометрии. Вертикальная стрелка B вверх, стрелка тока I вдоль длины, стрелка E_x влево; вдоль левой грани знаки «−», вдоль правой грани знаки «+». — Рис. 1

Здесь $\upsilon$ – средняя скорость дрейфа электронов, связанная с проходящим током $I$ и прямо пропорциональная напряженности электрического поля $\vec{E}$ в направлении этого тока: $\upsilon = \mu E$ , где коэффициент пропорциональности $\mu$ называется подвижностью электронов.

Из-за действия на электроны силы Лоренца (на рисунке она направлена в сторону левой грани), происходит разделение зарядов и появляется поперечное электрическое поле с напряженностью $E_x$ . Возникновении этого поля при протекании тока в образце, помещенном в магнитное поле, называют эффектом Холла. Перемещение электронов в направлении левой грани прекращается, когда силу Лоренца уравновешивает электрическая сила $eE_x$ :

e\upsilon B = eE_x.

В установившемся режиме напряжённость поперечного электрического поля $E_x = \upsilon B.$

Ниже описан эксперимент, в котором эффект Холла используется для исследования свойств полупроводника.

Электрическая схема: источник ЭДС ℰ, переменный резистор r с подвижным контактом и образец (серый прямоугольник шириной b и длиной L) с обозначением U_X между боковыми гранями, отмеченными «−» слева и «+» справа. — Рис. 2

Ток создаёт источник с ЭДС $\mathcal{E} = 10$ В и малым внутренним сопротивлением. Величина магнитной индукции $B = 1{,}0$ Тл. Для изменения тока применяют переменный резистор, а вольтметром измеряют напряжение $U_x$ между боковыми гранями в направлении, перпендикулярном магнитному полю и направлению протекающего тока.

Размеры полупроводникового образца: толщина $d = 1{,}0$ мкм, ширина $b = 5{,}0$ мм, длина $L = 1{,}0$ см. Заряд электрона $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ Кл.

В таблице представлена зависимость $U_x$ от сопротивления $r$ переменного резистора.

$r$ , кОм	2,5	2,0	1,5	1,0	0,5	0,0
$U_x$ , В	1,2	1,4	1,6	1,8	2,1	2,5

Задание

1. Выразите $U_x$ через силу тока $I$ в образце, концентрацию $n$ электронов проводимости и физические величины, приведенные в описании эксперимента ( $\mathcal{E}$ , $B$ , $d$ , $b$ , $L$ , $e$ ).

2. Выразите сопротивление $R$ и удельное сопротивление $\rho$ образца через его размеры, подвижность $\mu$ и концентрацию $n$ электронов проводимости.

3. Используя уравнения, полученные в п.п. 1, 2, выразите $U_x$ через концентрацию $n$ и подвижность $\mu$ электронов проводимости, сопротивление $r$ и физические величины, приведенные в описании эксперимента.

4. Используя выражение, полученное в п. 3, при помощи графического анализа экспериментальных данных определите для исследуемого полупроводника:

а) концентрацию $n$ электронов проводимости;

б) их подвижность $\mu$ ;

в) удельное сопротивление $\rho$ .

Опишите выбранный для этого способ обработки данных.

Внимание! Из-за ограниченного времени выполнения задания погрешность определения $n$ , $\mu$ и $\rho$ оценивать не требуется, однако точность полученных вами промежуточных и конечных результатов будет учитываться при выставлении баллов.

Отговори

Решение

Возможное решение (С. Кармазин).

Выразим $U_x$ через силу тока $I$ в образце. Заметим, что при скорости дрейфа $\upsilon$ за единицу времени через сечение образца $bd$ проходит заряд электронов проводимости из объёма $\upsilon bd$ , что при концентрации $n$ электронов проводимости создаёт силу тока $I = en\upsilon bd$ . Для разности потенциалов $U_x = b\upsilon B$ , поэтому

U_x = \frac{IB}{end}. \qquad (1)

Выразим сопротивление $R$ образца между гранями, отстоящими друг от друга на расстоянии $L$ , через подвижность $\mu$ и концентрацию $n$ электронов проводимости. Так как $\upsilon = \mu E$ , где $E = U/L$ где $U$ – напряжение между сечениями бруска, то скорость дрейфа электронов $\upsilon = \mu U/L$ . Поскольку сила тока $I = en\upsilon bd = \dfrac{en\mu Ubd}{L}$ , то из равенства $R = \dfrac{U}{I}$ имеем

R = \frac{L}{en\mu bd}. \qquad (2)

Соответственно, для удельного сопротивления получим

\rho = \frac{1}{en\mu}. \qquad (3)

Запишем закона Ома для замкнутой цепи $\mathrm{E} = I\left(r + R\right)$ , где $R$ сопротивление образца. Подставляя в это уравнение выражение $I = \dfrac{U_x end}{B}$ , следующее из (1), и выражение (2) для $R$ , получим $r + R = \dfrac{\mathrm{E}B}{U_x end}$ или

\frac{\mathrm{E}B}{U_x} = end\cdot r + \frac{L}{\mu b}. \qquad (4)

Мы получили, что обратное напряжение Холла линейно зависит от сопротивления переменного резистора $r$ . Это позволяет применить графическую обработку (4).

По угловому коэффициенту $den$ можно найти концентрацию $n$ , а по свободному члену $\dfrac{L}{\mu b}$ – подвижность $\mu$ .

Таблицу из условия преобразуем к виду:

$r$ , кОм	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
$\mathcal{E}B/U_x$ , Тл	4,0	4,8	5,6	6,3	7,1	8,3

Наносим на график с осями $\dfrac{\mathrm{E}B}{U_x}$ и $r$ точки, отвечающие измерениям, и проводим наиболее близкую к ним прямую.

График на миллиметровой сетке: по вертикали ℰB/U_x, Тл (деления 2, 4, 6, 8, 10), по горизонтали r, кОм (0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0). Шесть экспериментальных точек и проведённая через них прямая от 4 Тл при r = 0 до примерно 8,5 Тл при r ≈ 2,7 кОм.

Для нашей прямой получаем $\dfrac{L}{\mu b} = 4{,}1$ Тл, откуда

\mu = \frac{1{,}0\cdot 10^{-2}}{5{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 4{,}1}\left(\frac{\mathrm{м}^2}{\mathrm{с}\cdot\mathrm{В}}\right) = 4{,}9\cdot 10^3\left(\frac{\mathrm{см}^2}{\mathrm{с}\cdot\mathrm{В}}\right).

Угловой коэффициент $end = \dfrac{8{,}2 - 4{,}0}{2{,}5\cdot 10^3}\left(\dfrac{\mathrm{Тл}}{\mathrm{Ом}}\right) \approx 1{,}7\cdot 10^{-3}\left(\dfrac{\mathrm{Тл}}{\mathrm{Ом}}\right),$ откуда

n = \frac{1{,}7\cdot 10^{-3}}{1{,}6\cdot 10^{-19}1{,}0\cdot 10^{-6}}\,\mathrm{м}^{-3} = 1{,}06\cdot 10^{22}\,\mathrm{м}^{-3}, \qquad \rho = \frac{1}{en\mu} = 1{,}2\cdot 10^{-3}\,\mathrm{Ом}\cdot\mathrm{м}.

№	Задача 1.11.4. Критерии оценивания (14 баллов)	Баллы
1	Полный вывод выражения для напряжения Холла: $U_x = B\upsilon b = BI/(end)$ . При неполном выводе	2
а)	Выражена скорость дрейфа через силу тока: $\upsilon = I/(bden)$ (1 балл)
б)	Выражение для напряжения Холла: $U_x = B\upsilon b = BI/(den)$ (1 балл)
2	Выражение для сопротивления $r + R = \mathcal{E}/I$ (0,5 балла) и $r + R = \mathcal{E}B/(U_x den)$ (0,5 балла)	1
3	Выражение сопротивления и удельного сопротивления через подвижность и концентрацию	3
а)	Записано соотношение $\upsilon = \mu E = \mu U/L$ (1 балл)
б)	Записано соотношение $I = en\upsilon bd = en\mu Ebd = en\mu Ubd/L$ (1 балл)
в)	Получение выражения для $R = L/en\mu bd$ (0,5 балла)
г)	Получение выражение для удельного сопротивления $\rho = 1/en\mu$ (0,5 балла)
4	Сделан вывод о линейной зависимости $r$ и $1/U_x$ из постоянства $R$ как основы метода нахождения характеристик полупроводника	0,5
5	Получение соотношения (или любой аналог) $\mathcal{E}B/U_x = denr + L/(\mu b)$	0,5
6	Преобразование таблицы 1 в таблицу 2 с величиной, пропорциональной $1/U_x$ , как функции $r$ .	1
7	Указано, что по коэффициенту при переменной и свободному члену в линейной зависимости можно найти $n$ и $\mu$ (алгебраически или по графику)	1
8	Установление параметров линейной зависимости (свободного члена $L/\mu b$ )	1
9	Установление параметров линейной зависимости (коэффициента $den$ )	1
10	Подвижность $\mu$ попала в интервале $(0{,}47 \div 0{,}51)$ м $^2$ /с·В; в интервале $(0{,}45 \div 0{,}53)$ м $^2$ /с (0,5 балла)	1
11	Концентрация $n$ в интервале $(0{,}8 \div 1{,}2)\ 10^{22}$ 1/м $^3$ в интервале $(0{,}6 \div 1{,}4)\ 10^{22}$ 1/м $^3$ (0,5 балла)	1
12	$\rho$ в интервале $(1{,}1 \div 1{,}4)\cdot 10^{-3}$ Ом·м в интервале $(0{,}9 \div 1{,}6)\cdot 10^{-3}$ Ом·м (0,5 балла)	1

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-11-tur1-reg-20-21.pdf