ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, втори тур — Задача 2. Нелинейная цепь

• $Q = \frac{L\mathcal{E}I_0}{R} - \frac{LI_0^2}{2} - \frac{L\mathcal{E}^2}{4R^2}$ ≈ $0.07$ J

  $Q_1 = 0{,}06$ Дж, $Q_2 = 0{,}01$ Дж.

Возможное решение (А. Уймин). Для малого промежутка времени $dt$ количество тепла $dQ$, выделяющегося на резисторе с сопротивлением $R$

Здесь $U_R$ и $I_R$ – напряжение на резисторе и сила тока, протекающего через него, $dq$ – заряд, прошедший через резистор.

Установим связь $U_R(q)$ в нашем случае. Будем использовать известное соотношение для параллельно соединенных резистора $R$ и индуктивности $L$:

Сразу после замыкания ключа, нелинейный элемент ведет себя как резистор сопротивлением $R$ (режим «постоянного сопротивления»). Затем он переходит в режим «постоянного тока». Такой переход реализуется, так как в установившемся режиме напряжение на индуктивности и сила тока через резистор будут равны нулю, а напряжение, при котором нелинейный элемент переходит в режим «постоянного тока», меньше ЭДС источника ($I_0R = 15\ \text{В} < \mathrm{E} = 20\ \text{В}$). Определим связь $U_R(q)$ для этих режимов.

а) Режим «постоянного сопротивления». Для силы тока $I$ через нелинейный элемент

По второму правилу Кирхгофа

Подставляя $I_L$ из (2), получим

Отсюда для режима «постоянного сопротивления»

Нелинейный элемент остается в этом режиме до тех пор, пока выполняется условие

или, с учетом (3), пока величина прошедшего через резистор заряда

Согласно выражению (1) количество теплоты будет пропорционально площади под графиком $U_R(q)$ на участке $0 < q < q_1$. Поскольку зависимость (3) является линейной, получаем для количества теплоты $Q_1$ в этом режиме

б) Режим «постоянного тока».

Этот режим реализуется до момента, пока $U_R$ не станет равным нулю, т. е. пока $q$ не станет равным $q_2 = \frac{LI_0}{R}$. Заряд, прошедший через резистор в этом режиме

Количество теплоты $Q_2$, выделившееся в этом режиме, с учетом того, что $U_R(q)$ изменяется линейно от $U_R = \mathrm{E} - RI_0$ до нуля

Общее количество теплоты, выделившееся на резисторе,

Примечание. Возможно решение, при котором аналитическое выражение для $Q_1$ и $Q_2$ не получено, однако определены численные значения точек ”излома” на графике $U_R(q)$ и получен верный численный ответ. Такое решение должно оцениваться полным баллом.

Решение с использованием дифференциальных уравнений.

Пока сила тока, протекающего через нелинейный элемент, не достигла $I_0$, токи в цепи удовлетворяют уравнениям

Исключим $I_R$:

Применим подстановку $I_L = \frac{\mathrm{E}}{R} - x$: $\quad \frac{dx}{dt} = -\frac{R}{2L}x.$

Отсюда с учетом того, что $x(0) = \frac{\mathrm{E}}{R}$ получаем $x = \frac{\mathrm{E}}{R}\left(e^{-\frac{Rt}{2L}}\right)$;

Этот режим прекратится к моменту времени $t_1$, когда

К этому моменту времени сила ток, протекающего через катушку будет

Мощность, выделяющаяся на резисторе,

К моменту $t_1$ выделившаяся теплота составит

После того, как сила тока, протекающего через нелинейный элемент, установится на значении $I_0$, токи в цепи можно описать уравнениями

Исключим $I_R$:

Применим подстановку $I_L = I_0 - y$:

Отсюда с учетом $y(t_1) = I_0 - I_{L1} = \frac{\mathrm{E}}{R} - I_0,$ получим: $y = \left(\frac{\mathrm{E}}{R} - I_0\right)e^{-\frac{R(t - t_1)}{L}}$;

Мощность, выделяющаяся на резисторе, $P_R = R\left(\frac{\mathrm{E}}{R} - I_0\right)^2 e^{-\frac{2R(t - t_1)}{L}}$.

Количество теплоты, выделившееся после истечения времени $t_1$:

Общее количество теплоты