Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, втори тур — Задача 3. Вспышка в кубе

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 12 т.

Условие

В кубе из вещества с показателем преломления $n = 2$ точечный источник испустил кратковременную вспышку, свет от которой расходится однородно во всех направлениях. Свет веществом куба не поглощается. Какие значения может принимать доля $\eta$ энергии вспышки, вышедшей наружу, в зависимости от положения источника внутри куба? Укажите, при каких положениях источника эта доля минимальна, при каких максимальна и чему она равна?

При падении света на границу раздела часть его энергии, зависящая от угла падения, отражается, а часть проходит через границу раздела.

Примечание: при решении Вам может понадобиться формула площади поверхности сферического сегмента (см. рисунок): $S = 2\pi Rh$ , где $R$ – радиус сферы, $h$ – высота сегмента.

Сферический сегмент (купол) над основанием-эллипсом, задняя половина основания показана пунктиром; вертикальный пунктирный отрезок от центра основания до вершины обозначен h.

Отговори

Решение

Возможное решение (А. Аполонский).

1. Направим оси координат перпендикулярно граням куба. Пусть $\vec{c} = (c_x, c_y, c_z)$ вектор скорости некоторого луча света. При отражении от граней, перпендикулярных оси $OX$ , у скорости отражённого луча меняет знак проекция на ось $OX$ , а две остальные проекции остаются неизменными. Аналогично и при отражении от двух других пар граней.

2. Полное отражение происходит, когда угол между падающим на грань лучом и нормалью к грани превосходит угол $\varphi_0$ , где $\sin\varphi_0 = 1/n = 1/2$ . Тогда свет через грань не проходит совсем. Если этот угол меньше $\varphi_0 = 30^{\circ}$ , то происходит частичное отражение света, а ненулевая часть выходит из куба наружу.

3. Рассмотрим луч, падающий на перпендикулярную $OX$ грань, при котором нет полного отражения, а часть света выходит наружу. Условие этому $|c_x|/c > \sqrt{3}/2$ . При этом модули проекций на две остальные оси обязательно меньше $c/2$ .

4. Если скорость луча удовлетворяет условию $|c_x|/c > \sqrt{3}/2$ , но он попадает сначала на грани, перпендикулярные $OY$ и $OZ$ , то для соответствующих проекций имеем $|c_y|/c < 1/2$ и $|c_z|/c < 1/2$ , т.е. на этих гранях происходит полные отражения, в результате которых свет попадёт на грани, перпендикулярные $OX$ .

5. Итак, при выполнении условия $|c_x|/c > \sqrt{3}/2$ какими бы отражения не были свет будет выходить только через перпендикулярные $OX$ грани и в конечном счёте (поскольку поглощение отсутствует) весь такой свет покинет куб независимо от того, где находится источник. Аналогично и для других двух пар граней.

6. Итак, куб покинет свет, выходящий из точечного источника в шесть конусов, оси которых перпендикулярны граням куба, а угол раствора конуса составляет 60 $^{\circ}$ . Остальной свет будет испытывать только полное отражение, и никогда куб не покинет.

7. Искомая доля вышедшего света равна отношению суммарного телесного угла этих шести конусов к полному телесному углу $4\pi$ . Из указанной в условии формулы телесный угол при вершине одного такого конуса

\Omega = \frac{2\pi Rh}{R^2} = \frac{2\pi R \cdot R(1 - \cos\varphi_0)}{R^2} = 2\pi\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Таких конусов шесть, поэтому доля энергии света, покидающего куб при любых положениях источника внутри куба одинакова и равна

\eta = \frac{6\Omega}{\Omega_{\text{полн}}} = \frac{12\pi}{4\pi}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right) \approx 0{,}4 = 40\%.

№	Задача 2.11.3. Критерий (12 баллов)	Баллы
1	Утверждение о сохранении модуля проекции луча света на оси параллельные (перпендикулярные) ребрам куба или эквивалентный им анализ связи углов падения	1
2	Указано, что при значении углах падения на грань, превосходящих $\varphi_0 = \arcsin(1/n) = 30^{\circ}$ , свет полностью отражается	1
3	Показано, что свет, испытывающий частичное отражение на одной из граней куба, в дальнейшем полностью отражается от перпендикулярных ей граней	2
4	Указано, что свет, испытывающий частичное отражение на одной из граней куба, после отражения от перпендикулярной ей грани вновь испытывает частичное отражение на параллельной ей грани	1
5	Обоснованный (на основании п.4 и отсутствия поглощения) вывод о полном выходе из куба света, частично отражающегося от двух параллельных граней, в результате многократных отражений	1
6	Вывод о независимости $\eta$ от положения источника	2
7	Утверждение, что наружу из куба выходит свет, распространяющийся внутри шести конусов с углом раствора равным $60^{\circ}$	2
8	Определена величина телесного угла для таких конусов	1
9	Окончательный верный ответ для $\eta$	1

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-tur2-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-11-tur2-reg-20-21.pdf