ВсОШ 2021, Регионален етап, 9. клас — Задача 1.9.2. Тяжелый стакан

Возможное решение (С. Кармазин).

На стакан массы $m$ вниз действует сила тяжести, а вверх – сила Архимеда $F_A = \rho g\pi hR^2$ и сила реакции опоры, равная силе $N$, с которой стакан давит на дно аквариума. Следовательно, $N = mg - F_{\text{А}}$.

1. Учитывая, что толщина стенки мала по сравнению с радиусом стакана, вычислим ее объем упрощенно – как объем листа, из которого свернут цилиндр высотой $L$. Объем дна также запишем упрощенно – как произведение внешней площади дна стакана на его толщину. При этом мы дважды учтем тонкое кольцо квадратного сечения $d\cdot d$ и радиуса $R$, которое находится на стыке дна и стенки. Однако, оценка показывает, что при самой толстой из допустимых по условию стенок стакана объем этого кольца не превысит 8% от объема дна, рассчитанного точно с использованием площади внутреннего сечения стакана. С учетом суммарного объема стенок и дна стакана вносимая указанными упрощениями погрешность будет заметно меньше 8%.

Итак,

2. График зависимости $N(h)$ приведён на рисунке.

Проанализируем равенство (1) и график.

Угловой коэффициент $\frac{\Delta N}{\Delta h} = \pi\rho g R^2$ прямой на графике не зависит ни от $d$, ни от $L$.

Обозначения на графике:

Если уровень воды в аквариуме достигает верха стакана, а стакан к этому моменту еще не всплыл, то зависимость изображается на графике линией 1. Условие реализации такого сценария $L < h_0$. Казалось бы, что для всплытия стакана (прямая 2 на графике) достаточно увеличивать $L$. Но при этом будут возрастать и $N_0$ и $h_0$, т. к. как угловой коэффициент прямой остаётся постоянным. Возможность всплытия стакана будет определяться тем, какая величина, $L$ или $h_0$, при увеличении $L$ будет быстрее смещаться вправо по оси $h$. Стакан всплывет, если $L$ превысит $h_0$. Для этого должно выполняться условие

Окончательно, после преобразований, условие плавания стакана примет вид:

Из (3) следует, что если второе слагаемое в знаменателе равно или больше $R$, то не существует такого $L$, при котором стакан мог бы всплыть. При увеличении $L$ всплытие возможно лишь в том случае, если

Данное неравенство подтверждает допустимость сделанных в начале решения упрощений.

Ответы по пунктам:

1. $N = 20\pi\rho g dR(2L + R) - (\pi\rho g R^2)h$

Характерные точки:

• $N_0 = 20\pi\rho g dR(2L + R)$
• $h_0 = \frac{20d(2L+R)}{R}$,
• $N_1 = \pi g R\rho(40dL + 20dR - RL)$.

График 1 реализуется в случае, если $L < h_0$, или $L < \frac{20dR}{R-40d}$ т.е. для не очень высоких стаканов.

3. Всплытие стакана может произойти, если $L \ge \frac{20dR}{R-40d}$, но это возможно лишь при достаточно тонких стенках стакана $d < 0{,}025R$.

Критерии оценивания