Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 9. клас — Задача 1.9.3. Пять пружинок

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 10 т.

Условие

Пять пружинок соединены так, как показано на рисунке, и в исходном состоянии ни одна из них не деформирована. Коэффициенты жесткости трех пружин равны $k_1$ , а двух оставшихся – $k_2$ .

Система пяти пружин между двумя концами со стрелками (вверх и вниз). В центральной вертикальной цепочке последовательно пружины 1, 2, 3 с жёсткостью k_1. Пружина 4 (k_2) слева соединяет верхний конец с точкой между пружинами 2 и 3; пружина 5 (k_2) справа соединяет точку между пружинами 1 и 2 с нижним концом.

1) Чему равен эффективный коэффициент жесткости системы пружин?

2) Систему растягивают, прикладывая к ее концам одинаковые силы. При каком соотношении $k_1$ и $k_2$ пружина 2 окажется сжатой?

Решение

Возможное решение.

Пусть удлинение пружин 1 и 3 равно $x$ (из симметрии следует, что удлинения одинаковы), а пружины 2, соответственно, $y$ . Тогда пружины 4 и 5 растянуты на $x + y$ . Рассмотрим силы, приложенных к точке соединения пружин 1, 2 и 5:

F_1 = F_2 + F_5;\ \text{или } k_1x = k_1y + k_2(x + y). \qquad (1)

Отсюда

y = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}x. \qquad (2)

Если при положительных $x$ удлинение $y < 0$ , то это означают, что пружина 2 сжата. Это возможно при $k_2 > k_1$ . Если $k_2 < k_1$ , то пружина 2 растянута. При $k_2 = k_1$ пружина не деформирована.

Общее увеличение длины системы пружин $\Delta l = 2x + y = \dfrac{3k_1 + k_2}{k_1 + k_2}x.$

Приложенная к концам системы сила

F = F_1 + F_4 = k_1x + k_2(x + y) = k_1x + k_2\frac{2k_1}{k_1 + k_2}x = k_1\frac{k_1 + 3k_2}{k_1 + k_2}x.

Эффективный коэффициент жесткости

k = \frac{F}{\Delta l} = k_1\frac{k_1 + 3k_2}{3k_1 + k_2}.

Критерии оценивания

№	Задача 1.9.3. Критерии оценивания (10 баллов)	Баллы
1	Отмечено, что удлинение пружин 1 и 3 одинаково	1
2	Условия равновесия точек соединения трёх пружин	2
3	Связь удлинений крайних и пружины 2 – уравнение (2)	2
4	Сделан вывод о соотношении $k_1$ и $k_2$ при котором пружина 2 сжата	2
5	Определен коэффициент жесткости всей системы	3
	Записано условие $F = F_1 + F_4$ (1 балл)
	Учтена кинематическая связь $\Delta l = 2x + y$ (1 балл)
	Записан ответ (1 балл)

Онлайн-разбор решений

24 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач первого тура. Начало разбора (по московскому времени):

7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

26 января состоится онлайн-разбор решений заданий второго тура. Начало разбора:

7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-9-tur1-reg-20-21.pdf