Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 9. клас — Задача 1.9.4. «Серый ящик»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 20 т.

Условие

В «сером» ящике собрана электрическая цепь схема которой приведена на рисунке. К клеммам $AB$ ящика подключают идеальный вольтметр, а к клеммам $CD$ – различные резисторы, сопротивления которых в $n$ раз больше, чем у резистора $R_1$ . Зависимость показаний вольтметра $U$ от $n$ представлена в таблице.

$U$ , В	2,2	3,9	5,0	5,4	6,2	6,5	6,9
$n$	1	2	3	4	5	7	8

Задание:

Схема «серого» ящика в пунктирной рамке: верхняя ветвь из резисторов R_2 и R_3, соединённых последовательно, средняя ветвь с источником U_0, нижняя ветвь с резистором R_1. Точка между R_2 и R_3 выведена на клемму A, точка справа от R_1 — на клеммы B и C, правый узел — на клемму D. Снизу клеммы A, B, C, D.

1. Выведите формулу теоретической зависимости $U(n)$ .

2. Постройте график зависимости $U(n)$ по данным таблицы.

3. Определите напряжение $U_0$ источника и отношение $k = R_3/R_2$ . Для этого можете либо:

осуществить линеаризацию зависимости $U(n)$ , т.е. найти такую функцию $z(n)$ , для которой зависимость $U(z)$ является линейной и построить её график, по которому определить $U_0$ и $k$ . (За такой вариант решения этого пункта вы получите до 12 баллов).
использовать две пары значений из таблицы и уравнение, полученное в пункте 1 задания. Выбор значений $U$ и $n$ для расчета необходимо обосновать с помощью графика, построенного в пункте 2 задания. (За такой вариант решения этого пункта вы получите до 8 баллов).

Примечание: баллы за разные способы решения пункта 3 не суммируются!

Решение

Возможное решение (С. Кармазин).

Сила тока через резисторы $R_2$ и $R_3$ равна $I_1 = U_0/(R_2 + R_3)$ . Напряжение на резисторе $R_3$ (напряжение между точками 0 и 1) равно

(1)\qquad U_{01} = I_1R_3 = \frac{U_0R_3}{R_2 + R_3} = \frac{kU_0}{1 + k}.

Аналогично, напряжение на резисторе $nR_1$ (между точками 0 и 2) равно

(2)\qquad U_{02} = \frac{nR_1U_0}{R_1 + nR_1} = \frac{nU_0}{1 + n}.

Показание $U$ вольтметр (напряжение между точками 1 и 2), равно разности $U_{02}$ и $U_{01}$ . Знак этой разности не имеет значения (всегда можно поменять полярность подключения вольтметра).

(3)\qquad U = \frac{nU_0}{1 + n} - \frac{kU_0}{1 + k}.

Схема ящика с подключёнными приборами: верхняя ветвь R_2 и R_3 с узлом 1 между ними, средняя ветвь с источником U_0 и правым узлом 0, нижняя ветвь с резистором R_1 и узлом 2. Вне пунктирной рамки между узлом 1 и узлом 2 подключён вольтметр V, а между узлом 2 и правым узлом — резистор nR. — Рис. 1

График зависимости $U(n)$ представлен на рис.2.

Точечный график U, В (от 0 до 8) в зависимости от n (от 0 до 9) на миллиметровой сетке: семь точек для n = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 со значениями примерно 2,2; 3,85; 5,0; 5,4; 6,2; 6,5; 6,9.

Визуальный анализ графика на рис. 2 позволяет предположить, что точки при $n = 4$ и $n = 7$ лежат несколько ниже общего тренда зависимости $U(n)$ . Вычислим искомые величины, используя, например, значения $U$ для $n = 2$ и $n = 5$ .

С помощью (3) и табл.1 получаем 2 линейных уравнения с двумя неизвестными:

(4)\qquad 3{,}85\ \text{В} = \frac{2}{3}U_0 - \frac{kU_0}{1 + k}.

(5)\qquad 6{,}20\ \text{В} = \frac{5}{6}U_0 - \frac{kU_0}{1 + k}.

Решая совместно уравнения (4) и (5) находим: $U_0 \approx 14\ \text{В}$ ; $k \approx 0{,}7$ .

Проводить сложные математические преобразования для линеаризации зависимости $U(n)$ нет необходимости. Из (3) видно, что функция $z(n)$ имеет вид $z = n/(1 + n)$ .

Для построения зависимости $U(z)$ дополним таблицу в условии значениями $n/(1 + n)$ .

$U$ , В	2,20	3,85	5,00	5,40	6,20	6,50	6,90
$n$	1	2	3	4	5	7	8
$\frac{n}{1+n}$	0,5	0,67	0,75	0,8	0,83	0,88	0,89

троим график $U\left(\dfrac{n}{1+n}\right)$ .

График U, В (от 0 до 8) в зависимости от n/(n+1) (от 0 до 1,0) на миллиметровой сетке: семь экспериментальных точек и проведённая через них прямая, пересекающая горизонтальную ось около 0,33. — Рис. 3

Возьмем две «хорошие» точки на графике, в которых прямая линия проходит через перекрестия линий графической бумаги. Например, $\frac{n}{1+n} = 0{,}38$ ; $U = 0{,}6$ В и $\frac{n}{1+n} = 0{,}88$ ; $U = 6{,}6$ В. Тогда $U_0 = \dfrac{\Delta U}{\Delta\left(\dfrac{n}{1+n}\right)} = 12$ В.

График зависимости $U\left(\dfrac{n}{1+n}\right)$ пересекает горизонтальную ось в точке $\frac{n}{1+n} = 0{,}33$ . В этой точке $U = 0$ , следовательно $\frac{k}{1+k} = 0{,}33$ и $k = 0{,}5$ .

Критерии оценивания

№	Задача 1.9.4. Критерии оценивания (20 баллов)	Баллы
1	Вывод уравнения (3)	5
2	Построен график зависимости $U(n)$	3
	Указаны единицы измерения по осям (0,5 балла)
	Выбран разумный масштаб (0,5 балла)
	Оцифрованы оси (0,5 балла)
	Нанесены экспериментальные точки (0,5 балла)
	Через экспериментальные точки проведена линии (1 балл)
3а	Осуществлена линеаризация зависимости $U(n)$	5
	Получена функция $z = n/(1+n)$ (2 балла)
	Указание на то, что $U\left(\frac{n}{1+n}\right)$ – линейная функция (2 балла)
	Таблица дополнена значениями $z = n/(1+n)$ (1 балл)
4а	Построен график $U\left(\frac{n}{1+n}\right)$	3
	Указаны единицы измерения по осям (0,5 балла)
	Выбран разумный масштаб (0,5 балла)
	Оцифрованы оси (0,5 балла)
	Нанесены экспериментальные точки (0,5 балла)
	Через экспериментальные точки проведена прямая линия (1 балл)
3б	Обоснование выбора точек для расчета (использование для расчёта точек, лежащих на кривой) (2 балла)	4
	Решение системы уравнений и получение значений $U_0$ и $k$ (2 балла)
5	Численные значения $U_0$ и $k$	4
	Результат $U_0 = (12 \pm 1)$ В (узкие ворота) (2 балла)
	Результат $U_0 = (12 \pm 2)$ В (широкие ворота) (1 балл)
	Результат $k = (0{,}50 \pm 0{,}05)$ (узкие ворота) (2 балла)
	Результат $k = (0{,}5 \pm 0{,}1)$ (широкие ворота) (1 балл)

Примечание: баллы за пункт 3б не суммируются с баллами пунктов 3а и 3б (и наоборот)

Онлайн-разбор решений

24 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач первого тура. Начало разбора (по московскому времени):

7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

26 января состоится онлайн-разбор решений заданий второго тура. Начало разбора:

7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-9-tur1-reg-20-21.pdf