ВсОШ 2021, Регионален етап, 9. клас, втори тур — Задача 2. Трехлитровый сосуд

• $M = 0{,}9\rho a^3 = 0{,}9\ \mathrm{кг}$

Возможное решение (А. Евсеев). В момент начала подтекания результирующая сил давления воды на горизонтальную грань и сила тяжести сосуда не лежат на одной прямой. Поэтому он начинает поворачиваться вокруг правого нижнего ребра, относительно которого и будем рассматривать моменты сил.

Приподнимать сосуд будет сила давления воды на левую верхнюю грань. Подтекание начинается, когда заполнено 5/6 объема. В этот момент давление на верхнюю грань равно $\rho g a/2$, а сила давления $\left(\rho g a/2\right)a^2$. Плечо этой силы равно $3a/2$.

С силой тяжести главная сложность заключается в определении положения центра масс конструкции. Разобьем сосуд на одинаковые части (например, на листы размером $a\cdot a$), для которых положение центра масс однозначно определяется, и запишем моменты сил этих частей. Обозначим массу одной такой части – $m$. Тогда полная масса сосуда будет равна $M = 12m$. По правилу моментов:

После приведения подобных получим: $m = \rho a^3(3/40)$. Отсюда: $M = 0{,}9\rho a^3 = 0{,}9$ кг.