Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 9. клас, втори тур — Задача 3. Девять резисторов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 10 т.

Условие

Схема цепи между клеммами A и B: три горизонтальные ветви с резисторами 1–2–3 (верхняя), 4–5–6 (средняя) и 7–8–9 (нижняя), соединённые наклонными перемычками; правые концы ветвей 1–2–3 и 4–5–6 идут через амперметр A1, нижней ветви — через амперметр A2, далее общий амперметр A0 к клемме B. — Рис. 1

Электрическая цепь состоит из девяти одинаковых резисторов и трёх идеальных амперметров (А $_0$ , А $_1$ , А $_2$ ). Через амперметр А $_0$ протекает ток силой $I_0 = 9$ мА.

Определите показания амперметров А $_1$ и А $_2$ .

Отговори

Решение

Возможное решение (В. Слободянин). Резисторы $R_1$ и $R_4$ соединены параллельно, а резистор $R_2$ последовательно с ними. Эквивалентное сопротивление этого участка $R_{\text{Э}} = R_{1,4} + R_2 = 1{,}5R$ . Такое же эквивалентное сопротивление получается из резисторов $R_8$ , $R_6$ и $R_9$ . На рис. 2 приведена упрощенная схема исходной цепи. Это несбалансированный электрический мост.

Упрощённая схема — несбалансированный мост между A и B: верхняя ветвь 1,5R (ток I2) и резистор 3 = R (ток I1), нижняя ветвь резистор 7 = R (ток I1) и 1,5R (ток I2), диагональный резистор 5 = R с током I3; на выходе B ток I0. — Рис. 2

Введём обозначения токов, протекающих через него. Заметим, что через резисторы $R_3$ и $R_7$ силы протекающих токов одинаковы.

Запишем систему уравнений:

\begin{aligned} &1)\quad I_1 + I_2 = I_0;\\ &2)\quad I_2 + I_3 = I_1;\\ &3)\quad 1{,}5RI_2 = RI_1 + RI_3. \end{aligned}

Фрагмент исходной схемы: резистор 3 (R) с током I1, резисторы 6 и 9 (R) с токами I2/2 каждый, входящий ток I2; амперметры A1 и A2 сходятся к амперметру A0 и клемме B, ток I0. — Рис. 3

Откуда получим: $I_1 = 5$ мА, $I_2 = 4$ мА.

Вернёмся к исходной схеме. На рис. 3 показано распределение токов, протекающих через резисторы $R_3$ , $R_6$ и $R_9$ , а также амперметры А $_0$ , А $_1$ , А $_2$ . Ток $I_2$ распределяется поровну меду резисторами $R_6$ и $R_9$ . Следовательно, сила тока, протекающего через амперметр А $_2$ равна $I_{\mathrm{A2}} = I_2/2 = 2$ мА, а через амперметр А $_1$ равна $I_{\mathrm{A1}} = I_1 + I_2/2 = 7$ мА или $I_{\mathrm{A1}} = I_0 - I_{\mathrm{A2}} = 7$ мА.

№	Задача 2.9.3. Критерии оценивания (10 баллов)	Баллы
1	Упрощение исходной схемы путем нахождения эквивалентного сопротивления участков (по 1 баллу за каждый этап)	3
2	Определение силы токов полученной схемы (любым способом)	3
	Записано уравнение (1) (1 балл)
	Записано уравнение (2) (1 балл)
	Записано уравнение (3) (1 балл)
3	Решена система уравнений (1), (2), (3) и	2
	найдена сила тока $I_1$ (1 балл)
	найдена сила тока $I_2$ (1 балл)
4	Найдены показания амперметров (по 1 баллу)	2

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-tur2-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-9-tur2-reg-20-21.pdf