Съдържание

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Полёт с препятствием

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур. Сириус, 2022 г.

Условие

Оборудование: металлический стержень с неодимовым магнитом на одном и подшипником на другом конце; штатив с лапкой; платформа с пятью проводящими пластинами одинаковой толщины и ширины $b$ , но различной длины $a$ ; две измерительные стойки с линейками.

В данной задаче вам предлагается изучить взаимодействие движущегося постоянного магнита с тонкими проводящими пластинками, намагничеваемостью которых можно пренебречь. Для этого используется экспериментальная установки, схематично представленная на рис. 1. К горизонтальной оси на подшипнике прикреплён стержень с постоянным магнитом на конце. В положении равновесия системы под магнитом на небольшом расстоянии от него располагается тонкая проводящая пластинка. В ходе эксперимента исследуется изменение высоты магнита при максимальном отклонении стержня от положения равновесия после его однократного прохождения над пластинкой. Движение магнита происходит в плоскости, параллельной стороне $a$ (рис. 1).

Схема установки: стержень на оси (штатив), на конце магнит, отклонённый влево на высоту $H$; пунктиром — траектория дуги и крайнее правое положение на высоте $h$; под равновесным положением магнита пластинка длиной $a$; стрелка $g$ вниз. — Рис. 1

Силами сопротивления воздуха и трения в подшипнике можно пренебречь, как и размерами магнита по сравнению с размерами стержня. Основное взаимодействие магнита с пластинкой происходит на участке порядка размера пластинки, на котором мощностью силы тяжести также можно пренебречь.

Серая платформа с пятью прямоугольными проводящими пластинами одинаковой ширины $b$ и убывающей длины $a$; размер $b$ указан стрелкой под четвёртой пластиной. — Рис. 2

1. С учётом указанных приближений, при движении магнита со скоростью $v$ мгновенная мощность энергетических потерь системы равна $P = \alpha v^{n_1}$ , $n_1$ — постоянная величина, $\alpha$ — коэффициент пропорциональности, зависящий только от относительно расположения магнита и пластинки. Определите $n_1$ из теоретических соображений. Ответ обоснуйте.

Отклоним стержень от вертикали так, что магнит будет находиться на высоте $H$ от положения равновесия и отпустим без начальной скорости. После прохождения над пластинкой магнит поднимется на высоту $h < H$ . Для измерения значений $H$ и $h$ расположите две измерительные стойки с линейками по разные стороны от штатива. Подбирайте расположения стоек так, чтобы начиная движения от одной, магнит при последующей остановке едва касался второй линейки. В данной части задачи используйте пластинку с наибольшими размерами.

Указание: для задания расстояния $d$ порядка 1 мм между пластинкой и магнитом в положении равновесия, поместите между ним и пластинкой выданную вам линейку измерительной стойки. Кручением гайки, связывающей магнит и стержень, добейтесь плотного контакта линейки с пластинкой и магнитом. Затем уберите линейку.

2. Получите экспериментальную зависимость $h(H)$ (не менее 9 точек) в диапазоне $H \in [10{,}0...26{,}0]$ см.

3. Основываясь на теоретических представлениях, полученных в п.1, получите теоретическую зависимость $h(H)$ . Предложите координаты, в которых теоретическая зависимость $h(H)$ является линейной функцией. Постройте график полученной зависимости в предложенных координатах и выясните, является ли описанная теоретическая модель применимой.

Теоретическое описание взаимодействия движущегося магнита с пластиной при разных значениях геометрических параметров установки является сложной задачей, решать которую вам не потребуется.

Изучим взаимодействие движущегося магнита с пластинами с различными значениями длины $a$ .

4. При фиксированном значении $H = 20$ см получите экспериментальную зависимость $h(a)$ (5 точек).

5. Предположим, что разность высот $\Delta H = H - h$ прямо пропорциональна $a^{n_2}$ , где $n_2$ — постоянная величина. Определите показатель степени $n_2$ .

Решение

При движении магнита в любой точке проводящей пластинки изменяется магнитное поле, поскольку изменяется положение магнита относительно пластинки. Пусть $\dfrac{d\vec{B}(\vec{r})}{dl}$ — производная магнитного поля в точке с радиус-вектором $\vec{r}$ по направлению движения магнита. Тогда для производной магнитного поля по времени получим:

\frac{d\vec{B}(r)}{dt} = -v \cdot \frac{d\vec{B}(\vec{r})}{dl}.

Это означает, что в каждой точке пространства производная магнитного поля по времени прямо пропорциональна скорости его движения. Из этого напрямую следует, что возникающее в каждой точке пластинки вихревое электрическое поле также прямо пропорционально скорости движения магнита:

E_{\text{вихр}} \sim v.

Из локального закона Ома имеем:

\vec{j} = \frac{\vec{E}_{\text{вихр}}}{\rho}.

Если по проводнику длиной $l$ с площадью поперечного сечения $S$ протекает ток силой $I$ , то на нём выделяется тепловая мощность $P$ , равная:

P = I^2 R = j^2 S^2 \cdot \frac{\rho l}{S} = \rho j^2 \cdot lS,

откуда для мощности тепловыделения в единице объёма пластинки получим:

\frac{dP}{dV} = \rho j^2 = \frac{E_{\text{вихр}}^2}{\rho} \sim v^2.

Поскольку сопротивлением воздуха и трением в подшипнике по условию можно пренебречь, все энергетические потери системы связаны с выделением джоулева тепла. Таким образом, имеем:

n_1 = 2.

Значения $H$ и $h$ записаны с учетом поправки на положение магнита относительно каждой линейки. (В решении есть точки, выходящие за рамки рекомендуемого диапазона).

H, мм	h, мм
281	228
260	212
241	196
222	178
201	160
182	142
161	125
141	107
122	96
101	72

Будем отсчитывать потенциальную энергию системы от положения равновесия. Пусть $v$ — скорость движения груза. Тогда для потенциальной и кинетической энергий системы можно записать:

W_p = M_1 g H \qquad W_k = \frac{M_2 v^2}{2},

где $M_1$ и $M_2$ — коэффициенты пропорциональности, зависящие от геометрии системы. Это означает, что вблизи положения равновесия скорости $v_0$ и $v_1$ до и после взаимодействия с магнитом соответственно равны:

v_0 = \sqrt{2gH \cdot \frac{M_1}{M_2}} \qquad v_1 = \sqrt{2gh \cdot \frac{M_1}{M_2}}.

Запишем закон изменения энергии системы, пренебрегая мощностью силы тяжести:

M_2 v \cdot dv = -\alpha v^2 \cdot dt

Сокращая $v$ и интегрируя по времени, находим:

m(v_1 - v_0) = -\beta,

где $\beta = \displaystyle\int \alpha\, dl$ — постоянная величина. Тогда имеем:

\sqrt{h} = \sqrt{H} - \frac{\beta}{\sqrt{2g \cdot \dfrac{M_1}{M_2}}}.

В координатах $\sqrt{h}\left(\sqrt{H}\right)$ зависимость является линейной.

Построим график в выбранных координатах и убедимся в применимости модели:

График √h, √мм (0–16) от √H, √мм (0–18) на миллиметровой сетке: десять точек на прямой, красная аппроксимирующая прямая и две штриховые прямые границ погрешности.

Коэффициент наклона прямой $k_1 = 0{,}98 \pm 0{,}05$ , что подтверждает предложенную теоретическую модель.

Значения $h$ записаны с учетом поправки на положение магнита относительно линейки.

a, мм	h, мм
30	161
25	165
20	170
15	179
10	186

Построим график $\ln \Delta H\,(\ln a)$

График ln ΔH (2,0–3,5) от ln a (2,0–3,5): пять точек с крестами погрешностей, красная прямая и штриховые прямые границ наклона.

Коэффициент наклона прямой $k_2 = 1{,}0 \pm 0{,}2$ . $n_2 \approx 1$ .

Оригинал в Архива: Ru22-E.pdf