Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-5. Нелинейный элемент и конденсатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

Рассмотрим нелинейный элемент (рис. 5) такой, что при протекании через него тока в направлении от $A$ к $B$ зависимость напряжения $U_{AB}$ от силы тока $I$ описывается формулой

U_{AB}=U_1+\frac A I,

где $U_1>0$ и $A>0$ .

Рис. 5. Нелинейный элемент НЭ, A/B и красное направление тока I.

Если сила тока, текущего через элемент, равна нулю, то напряжение на нём может принимать любые значения. В противоположном направлении электрический ток протекать не может. На рисунке 6 качественно представлена ВАХ нелинейного элемента. В данной задаче рассматриваются две электрические цепи, содержащие данный нелинейный элемент.

Рис. 6. Полная качественная ВАХ нелинейного элемента, U1, UAB и I.

Часть 1. Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 7, состоит из источника постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора с сопротивлением $R$ и нелинейного элемента с известными параметрами $U_1$ и $A$ .

Рис. 7. Полная первая цепь с источником U0, R, НЭ и узлами A/B.

1. При каких значениях напряжения источника $U_0$ в цепи может протекать постоянный электрический ток?

Часть 2. Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 8, состоит из источника постоянного напряжения $U_0$ с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора с сопротивлением $R$ , конденсатора ёмкостью $C=10$ мФ и нелинейного элемента, для которого $U_1=2$ В.

Рис. 8. Полная вторая цепь с U0, R, НЭ, C и узлами A/B.

Изначально конденсатор не заряжен. Затем в результате кратковременного внешнего воздействия в цепи начинает протекать электрический ток. На рисунке 9 ниже (и на отдельном листе в увеличенном масштабе) представлен график зависимости напряжения на конденсаторе $U_C$ от силы тока в цепи $I$ .

Рис. 9. Полный исходный график UC(I), сетка, точки 1/2/3, пунктир 23 и все шкалы.

Точка 1 соответствует моменту времени начала протекания тока, точка 2 — достижению максимального напряжения на конденсаторе, а пунктирная линия 23 — прекращению протекания в цепи электрического тока.

2. Найдите $U_0$ , $R$ и $A$ .

3. Найдите количество теплоты $Q_R$ , выделившееся на резисторе за все время протекания тока в цепи.

4. Определите время $\tau$ , в течение которого в цепи протекал ток.

Решение

Из второго закона Кирхгофа для цепи следует:

U_0=IR+U_1+\frac A I,

откуда:

I^2R-(U_0-U_1)I+A=0.

Для существования корней квадратного уравнения его дискриминант должен быть неотрицательным. Учитывая, что $I>0$ , получим:

U_0\ge U_1+2\sqrt{AR}

Из второго закона Кирхгофа для цепи получим:

U_0=IR+U_1+\frac A I+U_C,

откуда:

U_C=U_0-U_1-IR+\frac A I.

Пусть $I_1\approx9{,}6$ мА – сила тока в цепи в точке 1. Тогда:

I_1^2R-I_1(U_0-U_1)+A=0.

Пусть $U_{max}\approx6$ В – максимальное напряжение на конденсаторе, а $I_2\approx2$ мА – соответствующая ему сила тока в цепи. Максимум напряжения на конденсаторе соответствует минимуму выражения $IR+\frac A I$ , достигающемуся при равенстве слагаемых, т.е

I_2=\sqrt{\frac A R}.

Для $U_{max}$ находим:

U_{max}=U_0-U_1-2\sqrt{AR}

Подставив $U_0-U_1=U_{max}+2\sqrt{AR}$ в уравнение относительно $I_1$ , получим:

I_1^2R-I_1U_{max}-2I_1\sqrt{AR}+A=0.

Выражая $A$ из уравнения относительно $I_2$ :

(I_1-I_2)^2R=I_1U_{max}

Получим ответы:

R=\frac{I_1U_{max}}{(I_1-I_2)^2}\approx997\text{ Ом}

A=\frac{I_1I_2^2U_{max}}{(I_1-I_2)^2}\approx3{,}99\text{ мВт}

U_0=U_1+U_{max}+\frac{2I_1I_2U_{max}}{(I_1-I_2)^2}\approx11{,}99\text{ В}

Перейдём к количеству теплоты, выделившемуся на резисторе. За малый промежуток времени $\Delta t$ :

\Delta Q_R=I^2R\Delta t=RI\Delta q_C=RCI\Delta U_C\Rightarrow Q_R=RCS

где $S$ – площадь под графиком $I(U_C)$ в процессе зарядки конденсатора.

Первое решение

Найдём $S$ непосредственным вычислением, проведя касательную к графику в точке 1, а затем из площади трапеции вычтем площадь области между касательной и графиком. Получим:

S\approx(37{,}1-38{,}3)\text{ мВт}

откуда:

Q_R=(370-383)\text{ мДж}

Второе решение

Данный результат может быть получен аналитически. Для этого заметим, что:

Q_R=RC\int_0^{U_{max}}I\,dU_C=RC\left(I_2U_{max}+\int_{I_2}^{I_1}U_C\,dI\right)

Подставим зависимость $U_C(I)$ в подынтегральное выражение и получим:

Q_R=RC\left(I_2U_{max}+\int_{I_2}^{I_1}\left(U_0-U_1-IR+\frac A I\right)dI\right)

Интегрируя, находим:

Q_R=RC\left(I_2U_{max}+(U_0-U_1)(I_1-I_2)-\frac{R(I_1^2-I_2^2)}2-A\ln\left(\frac{I_1}{I_2}\right)\right)

Q_R\approx(376-377)\text{ мДж}

Первое решение

Запишем закон сохранения энергии в системе:

A_{\text{ист}}=Q_R+Q_{\text{Н.Э}}+W_C,

где $Q_R$ и $Q_{\text{Н.Э}}$ – количества теплоты, выделившиеся на резисторе и нелинейном элементе соответственно. Работа источника и энергия конденсатора равны соответственно:

A_{\text{ист}}=U_0q_C=CU_0U_{max}

W_C=\frac{CU_{max}^2}2

Рассмотрим малый промежуток времени $dt$ . За это время на нелинейном элементе выделилось количество теплоты $dQ_{\text{Н.Э}}$ , равное:

dQ_{\text{Н.Э}}=U_{\text{Н.Э}}I\,dt=U_1I\,dt+A\,dt=U_1dq_C+A\,dt\Rightarrow Q_{\text{Н.Э}}=CU_1U_{max}+A\tau

Окончательно получим:

\tau=\frac C A\left((U_0-U_1)U_{max}-RS-\frac{U_{max}^2}2\right)\approx10{,}9\pm1{,}6\text{ с}

Основная погрешность результата связана с определением $S$ графическим способом.

Второе решение

Время $\tau$ можно также найти из дифференциального уравнения процесса зарядки конденсатора. Решая квадратное уравнение относительно $I$ получим:

I=\frac{(U_0-U_1-U_C)\pm\sqrt{(U_0-U_1-U_C)^2-4AR}}{2R}

Графику зависимости $U_C(I)$ соответствует корень со знаком $+$ . Введём переменную $V=U_0-U_1-U_C$ . Тогда:

I=\frac{V+\sqrt{V^2-4AR}}{2R}

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора:

\frac{dq_C}{dt}=C\frac{dU_C}{dt}=-C\frac{dV}{dt}=I

откуда:

dt=-2RC\frac{dV}{V+\sqrt{V^2-4AR}}

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

dt=-\frac C{2A}\left(V-\sqrt{V^2-4AR}\right)dV

С учётом выражения для $U_{max}$ , получим выражение для $\tau$ :

\tau=\frac C{2A}\int_{2\sqrt{AR}}^{U_0-U_1}\left(V-\sqrt{V^2-4AR}\right)dV

Сразу вычислим первый интеграл:

\int_{2\sqrt{AR}}^{U_0-U_1}V\,dV=\frac{(U_0-U_1)^2-4AR}2

Для вычисления второго интеграла введём переменную $x=\frac V{2\sqrt{AR}}$ и получим:

\int_{2\sqrt{AR}}^{U_0-U_1}\sqrt{V^2-4AR}\,dV=4AR\int_1^{\frac{U_0-U_1}{2\sqrt{AR}}}\sqrt{x^2-1}\,dx

Рассматриваемый интеграл является табличным и равен:

\int\sqrt{x^2-1}\,dx=\frac{x\sqrt{x^2-1}-\ln(x+\sqrt{x^2-1})}2+C

откуда:

4AR\int_1^{\frac{U_0-U_1}{2\sqrt{AR}}}\sqrt{x^2-1}\,dx=\frac{(U_0-U_1)\sqrt{(U_0-U_1)^2-4AR}-4AR\ln\left[\frac{U_0-U_1+\sqrt{(U_0-U_1)^2-4AR}}{2\sqrt{AR}}\right]}2\qquad (1)

Для $\tau$ окончательно имеем:

\tau=\frac C{4A}\left[(U_0-U_1)^2-4AR-(U_0-U_1)\sqrt{(U_0-U_1)^2-4AR}+4AR\ln\left(\frac{U_0-U_1+\sqrt{(U_0-U_1)^2-4AR}}{2\sqrt{AR}}\right)\right]\approx10{,}9\text{ с}\qquad (2)

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf