Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-5. Термоисточник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

Источник состоит из соединенных последовательно идеального источника постоянного напряжения $\mathcal E$ и терморезистора, сопротивление которого зависит от температуры по закону

R=R_0(1+\alpha(t-t_0))

Рис. 7. Полная схема термоисточника, ЭДС, R, I, клеммы A/B и пунктирная граница.

где $R_0$ — сопротивление резистора при температуре $t_0=0\,{}^\circ\text{C}$ , $t$ — установившаяся температура резистора, $\alpha$ — постоянный коэффициент.

На графике приведена нагрузочная кривая источника, т. е. зависимость установившегося напряжения $U_{AB}$ между его клеммами от силы протекающего через него тока $I$ . При протекании тока $I_1=0{,}55$ A цепь разрывается, т.к. резистор плавится. Температура плавления известна и равна $t_{\text{пл}}=306\,{}^\circ\text{C}$ . Мощность тепловых потерь в окружающую среду от нагретого до температуры $t$ резистора равна $N=\beta(t-t_{\text{среды}})$ , где $\beta$ — постоянный неизвестный коэффициент. Считайте, что температура окружающей среды $t_{\text{среды}}=t_0$ . Определите:

Рис. 8. Полная исходная нагрузочная кривая источника, шкалы U/I, сетка и пунктир I=0,55 А.

1. напряжение $\mathcal E$ идеального источника;

2. сопротивление $R_0$ ;

3. напряжение $U_{AB}$ между клеммами $A$ и $B$ , если к ним подключить резистор сопротивлением 10 Ом;

4. величину $\alpha$ ;

5. какую силу тока гарантированно не сможет пропускать аналогичный резистор, имеющий те же значения параметров $R_0$ и $\alpha$ , но очень высокую температуру плавления.

Решение

При протекании через резистор тока $I$ он нагревается до температуры $t$ . В стационарном режиме, выделяющаяся электрическая мощность равна мощности тепловых потерь. Следовательно, $\beta(t-t_0)=I^2R_0(1+\alpha(t-t_0))$ , где $\beta$ — коэффициент тепловых потерь. Откуда

t-t_0=\frac{I^2R_0}{\beta-I^2R_0\alpha}.

Установившееся напряжение между клеммами $A$ и $B$ задается выражением:

U_{AB}=\mathcal E-IR_0(1+\alpha(t-t_0)).

Решая систему уравнений, получим:

U_{AB}=\mathcal E-\frac{IR_0\beta}{\beta-I^2R_0\alpha}.

При $I=0$ $U_{AB}=\mathcal E$ . Из графика найдем $\mathcal E=10$ В.

При малых $I$ выражение (*) упрощается до: $U_{AB}=\mathcal E-IR_0$ .

Проведем касательную к начальному участку графика. Из углового коэффициента определяем $R_0=10$ Ом.

Полный построенный график термоисточника: нагрузочная кривая, касательная, ВАХ 10 Ом и шкалы UAB/I.

Напряжение на клеммах $A$ и $B$ , при подключении к ним резистора с сопротивлением 10 Ом, найдем графически. Построим ВАХ резистора на графике с нагрузочной кривой. Пересечение графиков даст искомый ответ 4,0 В.

График пересекает ось абсцисс при силе тока 0,5 А. При этом

\mathcal E=\frac{IR_0\beta}{\beta-I^2R_0\alpha},

следовательно, $\beta/\alpha=5{,}0$ Вт. Аналогичное значение получается при подстановке других точек. При температуре плавления

t_{\text{пл}}-t_0=\frac{I_1^2R_0}{\beta-I_1^2R_0\alpha}=\frac{3{,}025}{1{,}975\alpha}=306\,{}^\circ\text{C},

откуда

\alpha=5{,}1\cdot10^{-3}\,{}^\circ\text{C}^{-1}.

Выразим ток в зависимости от температуры

I^2=\frac{\beta(t-t_0)}{R_0(1+\alpha(t-t_0))}=\frac\beta{R_0(1/(t-t_0)+\alpha)}.

При $t\to\infty$ , $I\to I_{\text{макс}}=\sqrt{\beta/(R_0\alpha)}=0{,}71$ А. Значит любой ток более 0,71 А резистор гарантированно не сможет пропустить ни при какой температуре плавления.

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf