Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4. Неизвестная жидкость под поршнем

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

В атмосфере с давлением $p_0=10^5$ Па расположен вертикальный цилиндрический сосуд сечения $S=0{,}01$ м $^2$ и высоты $2H$ $(H=1$ м). Вдоль стенок сосуда может перемещаться без трения герметичный поршень. Стенки сосуда и поршень не проводят тепло. Изначально поршень покоится на небольших опорах, расположенных на высоте $H$ над дном сосуда. Из-под поршня выкачивают весь воздух и помещают туда некоторое количество жидкости. После установления термодинамического равновесия температура содержимого сосуда оказалась равна $T_0=350$ K. Затем включают нагреватель, и через дно сосуда содержимое под поршнем медленно нагревается. В процессе нагрева измеряют температуру и давление под поршнем. Когда низ поршня достигает отметки $2H$ нагрев прекращают. График полученной зависимости от начала нагрева и до окончания представлен на рисунке 6.

Рис. 5. Весь сосуд, поршень на опорах, жидкость, S, две высоты H, P0 и g.

Рис. 6. Полный график нагрева жидкости, красная кривая, сетка и все шкалы P/P0 и T/T0.

Удельная теплота парообразования жидкости при температуре $1{,}1T_0$ равна $L=2{,}2$ МДж/кг. Молярная масса жидкости $\mu=18$ г/моль, универсальная газовая постоянная $R=8{,}31$ Дж/(моль $\cdot$ K), ускорение свободного падения $g=9{,}8$ м/с $^2$ . Пар жидкости можно считать идеальным многоатомным газом. Объём жидкости много меньше $SH$ . Определите:

1. массу $M$ поршня;

2. массу $m_0$ содержимого под поршнем (суммарно во всех агрегатных состояниях);

3. количество теплоты $Q$ , подведённой к сосуду начиная с момента отрыва поршня от опор и до момента окончания нагрева.

Решение

Из условия следует, что поршень оторвался от опор и поднялся на высоту $2H$ . Если поршень не лежит на опорах, то на него действуют только три силы: сила тяжести, сила атмосферного давления и сила давления паров жидкости. Так как первые две силы постоянны, то и третья будет постоянной. На графике мы видим конечный участок нагрева, на котором давление паров постоянно, следовательно, на этом участке поршень не лежит на опорах. Запишем условие его равновесия.

1{,}5p_0S=Mg+p_0S,

откуда:

M=\frac{p_0S}{2g}=\frac{10^5\cdot0{,}01}{2\cdot9{,}8}=51\text{ кг}

По условию, изначально под поршнем была только жидкость, а затем установилось термодинамическое равновесие. Значит, возможны два варианта: либо под поршнем изначально находится только пар, либо смесь жидкости и ее насыщенного пара. Если бы к окончанию процесса нагрева жидкость испарилась не полностью, то при постоянном давлении содержимого (равном давлению насыщенного пара жидкости) была бы постоянна и его температура. Из графика видно, что температура содержимого на последнем этапе возрастала при постоянном давлении. Следовательно, к моменту достижения поршнем высоты $2H$ вся жидкость испарилась. Запишем уравнение состояния в момент достижения поршнем высоты $2H$ :

1{,}5p_0\cdot2SH=\frac{m_0R\cdot1{,}5T_0}\mu

откуда:

m_0=\frac{2\mu p_0SH}{RT_0}=\frac{2\cdot0{,}018\cdot10^5\cdot0{,}01\cdot1}{8{,}31\cdot350}=12{,}4\text{ г}

Из уравнения состояния найдём массу пара $m_{\text{п}1}$ под поршнем в момент его отрыва от опор:

m_{\text{п}1}=\frac{1{,}5p_0SH\mu}{1{,}1T_0R}=8{,}4\text{ г}

Заметим, что $m_{\text{п}1}<m_0$ , это означает, что процесс подъема поршня можно разделить на два этапа. На первом этапе под поршнем при постоянной температуре находится насыщенный пар и жидкость продолжает испаряться. На втором этапе все содержимое цилиндра оказывается в газообразном состоянии и происходит изобарическое расширение с увеличением температуры.

Первый этап представлен на графике одной точкой с координатами $(1{,}1T_0;1{,}5p_0)$ , а второй — горизонтальным отрезком.

Рассмотрим, на что тратится энергия на первом этапе. Жидкость испаряется, при этом часть энергии тратится на разрушение энергии связей между молекулами жидкости $\Delta U_{\text{жидк}}$ , а часть — на работу по расширению образовавшегося пара в окружающую среду $A_1=p(V_{\text{г}}-V_{\text{ж}})$ . Величина $\Delta U_{\text{жидк}}$ зависит от температуры, при которой происходит фазовый переход. Покажем, что, если объемом вещества в жидком состоянии можно пренебречь по сравнению с объемом в газообразном состоянии, то величина $A_1$ так же определяется температурой и не зависит от внешнего давления. Действительно, в условиях приближения $A_1=pV_{\text{г}}=\nu_{\text{г}}RT$ , где $\nu_{\text{г}}$ — количество испарившегося вещества. По определению удельная теплота парообразования включает в себя как затраты энергии на разрыв связей между молекулами, так и затраты энергии на совершение работы по расширению в атмосферу. Теплоту $Q_1$ , подведенную на первом этапе, можем выразить:

Q_1=L(m_0-m_{\text{п}1}).

На втором этапе происходит изобарический нагрев пара от температуры $1{,}1T_0$ до $1{,}5T_0$ . Так как по условию пар можно считать многоатомным газом, то его молярная теплоемкость в данном процессе равна $c_p=4R$ , и эта теплоемкость учитывает как изменение внутренней энергии газа, так и работы по расширению как против сил атмосферного давления, так и против силы тяжести поршня. Тогда тепло, подведенное на втором этапе, можно выразить:

Q_2=\frac{c_pm_0(1{,}5T_0-1{,}1T_0)}\mu=\frac{16}5p_0SH.

Общее количество теплоты, подведенное в процессе подъема поршня:

Q=Q_1+Q_2=p_0SH\left(\frac{7\mu L}{11RT_0}+\frac{16}5\right)=10^3\cdot(8{,}7+3{,}2)=11{,}9\text{ кДж}

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf