ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3. Электрическая тележка

Способ №1.

Введем ось $x$, направленную горизонтально вправо. Пусть тележка движется с горизонтальным ускорением $\vec a$. Перейдем в НИСО, связанную с центром масс тележки, при этом добавится сила инерции $\vec F_{\text{ин}}=-m\vec a$, приложенная к центру масс. Также на тележку будут действовать сила тяжести $mg$, силы нормального давления $N_1$ и $N_2$ со стороны дороги, силы трения $\mu N_1$ и $\mu N_2$, направленные против скорости нижних точек колёс.

В выбранной системе отсчета тележка покоится, поэтому сумма действующих на нее сил должна быть равна нулю и сумма моментов сил тоже должна быть равна нулю.

Рассмотрим сумму моментов сил относительно точки касания пола левым колесом:

Выразим силу $N_2$:

Аналогично поступим с правым колесом:

Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось: $F_{\text{тр}1}-F_{\text{тр}2}-ma_x=0$. Так как по условию колеса начинают быстро вращаться, то они проскальзывают по полу. В таком случае $F_{\text{тр}_i}=N_i$. Учитывая это выразим ускорение:

По условию $\mu<l/h$, значит $a_x<0$, значит тележка будет двигаться влево с ускорением, равным по модулю $a=\frac{\mu gx}{l-\mu h}$.

Способ №2.

Пусть $\vec a$ — ускорение тележки. Объединим силы нормальных реакций опор и трения, действующие на колёса, в полные реакции опор $\vec Q=\vec N+\vec F$.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с тележкой. В данной системе отсчёта все силы можно свести к трём: полным реакциям опоры $\vec Q_{\text{л}}$ и $\vec Q_{\text{п}}$, действующим на левую и правую пары колёс соответственно, а также равнодействующей сил тяжести и инерции $m(\vec g-\vec a)$, приложенной к центру масс тележки.

Поскольку в этой системе отсчёта тележка покоится и на нее действуют силы, приложенные к трём точкам, то по теореме о трёх непараллельных силах продолжения линий действия этих сил пересекаются в одной точке $M$. Учитывая, что полные реакции опор составляют угол $=\arctan\mu$ с вертикалью, они пересекутся в точке $M$, находящейся над серединой тележки на высоте $OM=l/\mu$ над поверхностью. Изобразим это на рисунке.

Тогда равнодействующая сил тяжести и инерции должна составлять с вертикалью угол $=\arctan\frac{x}{l/\mu-h}$.

Отсюда ускорение тележки равно $a=g\tan\alpha=\frac{\alpha gx}{l-\mu h}$ и направлено влево.

Способ №1.

Найдем условие отсутствия переворота. Если тележка не переворачивается, то $N_1,N_2>0$.

Для первого условия

получим $x>h-l$.

Рассмотрим второе условие

откуда получим $x<l-\mu h$.

Заметим, что с учетом ограничения, данного в условии задачи, второе условие $(\mu h-l<0)$ выполняется всегда. Окончательно получим $x<l-\mu h$.

Способ №2.

Если $\vec Q_{\text{п}}$ проходит ниже центра масс электрокара, то для отсутствия вращения необходимо отрицательное значение нормальной реакции опоры, действующей на левую пару колёс, что невозможно. Значит, левая пара колёс отрывается от поверхности.

Колёса не отрываются при условии $\mu<(l-x)/h$ или $x<l-\mu h$.