Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. Поле цилиндра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

Бесконечно длинный незаряженный металлический цилиндр радиуса $R$ расположен в однородном электрическом поле $\vec E_0$ . Ось цилиндра и вектор напряжённости поля горизонтальны и взаимно перпендикулярны (рис. 2). Напряжённость поля направлена вправо. На поверхности цилиндра установилось некоторое распределение индуцированных зарядов.

Рис. 2. Металлический цилиндр, R, θ и внешнее горизонтальное поле E0.

Далее рассмотрим бесконечно длинный тонкостенный непроводящий цилиндр такого же радиуса $R$ вне поля $\vec E_0$ вдали от первого (проводящего) цилиндра. Поместим на его поверхность заряд так, чтобы зависимость плотности заряда от угла $\theta$ к горизонту (рис. 3) совпадала для обоих цилиндров. Непроводящий цилиндр расположен горизонтально в поле тяжести. Ускорение свободного падения равно $\vec g$ (рис. 3).

Поместим внутрь непроводящего цилиндра гладкий точечный положительный заряд $q$ массой $m$ .

Рис. 3. Непроводящий цилиндр, R, θ, g, точечный заряд m/q и начальная скорость v0.

1. Определите изменение суммарной потенциальной энергии точечного заряда (энергии в поле тяжести и в электрическом поле) при перемещении его из крайнего левого положения в крайнее правое.

2. Точечный заряд помещают в самое нижнее положение и сообщают ему начальную скорость $v_0$ , направленную влево, перпендикулярно оси цилиндра. Найдите максимальную скорость заряда $v_{\text{макс}}$ в процессе дальнейшего движения.

3. При каких значениях $v_0$ точечный заряд совершит полный оборот?

Решение

Электрическое поле внутри металлического цилиндра равняется нулю. Значит, заряды распределятся по его поверхности так, что создаваемое ими внутри цилиндра электрическое поле равно $\vec E=-\vec E_0$ . Так как распределение зарядов на поверхности второго цилиндра такое же, как на первом, то внутри него создано однородное электрическое поле с напряженностью $-\vec E_0$ .

При перемещении точечного заряда из левой точки в правую уже сила тяжести не совершит работу. Изменение потенциальной энергии будет равно минус работе электрического поля: $\Delta W_{\text{пот}}=-A_E=2qE_0R$ .

Способ №1.

Введем декартову систему координат, связанную с центром цилиндра. Ось $x$ направим горизонтально вправо, а ось $y$ – вертикально вверх. Запишем функцию потенциальной энергии в зависимости от угла $\theta$ .

W_{\text{пот}}(\theta)=mgR\sin\theta+E_0qR\cos\theta

Обозначим $A=R\sqrt{(mg)^2+(E_0q)^2}$ , тогда

W_{\text{пот}}(\theta)=A\left(\frac{mgR}A\sin\theta+\frac{E_0qR}A\cos\theta\right).

Введем угол $\alpha=\arcsin\frac{mgR}A$ . Легко заметить, что $\cos\alpha=\frac{E_0qR}A$ , тогда выражение для потенциальной энергии примет вид $W_{\text{пот}}(\theta)=A\cos(\theta-\alpha)$ .

Скорость будет максимальной в точке, где энергия минимальна. Минимум потенциальной энергии равен $W_{\text{мин}}=-A$ . Начальная потенциальная энергия равна $W_0=-mgR$ .

Запишем закон сохранения энергии $W_0+\frac{mv_0^2}2=W_{\text{мин}}+\frac{mv_{\text{макс}}^2}2$ . Отсюда

v_{\text{макс}}=\sqrt{(v_0^2+\frac{2R}m\left(\sqrt{(mg)^2+(E_0q)^2}-mg\right)}=\sqrt{v_0^2+2R\left(\sqrt{g^2+\left(\frac{qE_0}m\right)^2}-g\right)}.

Способ №2.

Полная геометрия второго решения цилиндра: O/A/B/C/D, F, qE0, mg, α и все касательные.

Поле силы тяжести и электростатическое поле однородны, поэтому на шарик будет действовать постоянная равнодействующая $F$ , направленная под углом $\alpha$ к вертикали. $x=\tan\alpha=\frac{E_0q}{mg}$ , $F=\frac{mg}{\cos\alpha}=mg\sqrt{x^2+1}$ . При действии постоянной силы потенциальная энергия определяется как $W_{\text{пот}}=Fh$ , где ось $h$ направлена противоположно направлению силы.

Запишем закон сохранения энергии

W_0+\frac{mv_0^2}2=W_{\text{мин}}+\frac{mv_{\text{макс}}^2}2.

Минимальная потенциальная энергия будет в точке $B$ .

W_0-W_{\text{мин}}=F\cdot CB=FR(1-\cos\alpha)=mgR\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)

Отсюда

v_{\text{макс}}=\sqrt{v_0^2+2gR\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)}=\sqrt{v_0^2+2Rg\left(\sqrt{\left(\frac{qE_0}m\right)^2+1}-1\right)}.

Способ №1.

Чтобы точечный заряд мог совершить полный оборот, его скорость в любой точке должна быть больше нуля, и сила реакции опоры со стороны оболочки также должна быть больше нуля.

Так как заряд находится в однородном поле сил, являющемся суммой поля тяжести и электрического поля, то максимум потенциальной энергии достигается в точке, где результирующая сила, действующая со стороны поля, перпендикулярна поверхности цилиндра.

Запишем условие отсутствия отрыва

ma_{\text{ц}}=\frac{mv^2}R>\sqrt{(mg)^2+(E_0q)^2}.

Выразим кинетическую энергию в этой точке

W_{\text{мин}}=\frac{mv^2}2>\frac A2.

Запишем закон сохранения энергии

\frac{mv_0^2}2-mgR=W_{\text{мин}}+A,

откуда

v_0>\sqrt{\frac{2R}m\left(\frac32\sqrt{(mg)^2+(E_0q)^2}+mg\right)}.

Способ №2.

Максимум потенциальной энергии достигается в точке $D$ , где результирующая сила, действующая со стороны поля, перпендикулярна поверхности цилиндра. Запишем закон сохранения энергии

W_0+\frac{mv_0^2}2=W_D+\frac{mv^2}2,

где $W_D-W_0=F\cdot CD=FR(1+\cos\alpha)=mgR(\sqrt{x^2+1}+1)$ .

Запишем условие отсутствия отрыва:

ma_{\text{ц}}=\frac{mv^2}R>F,

т.е. $v_0^2=\frac2m(W_D-W_0)+v^2>2gR(\sqrt{x^2+1}+1)+gR\sqrt{x^2+1}$ или

v_0>\sqrt{Rg\left(3\sqrt{\left(\frac{qE_0}{mg}\right)^2+1}+2\right)}.

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf