Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1. Три тигра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго — на третьего, а скорость третьего — на первого. В начальный момент времени тигры образуют прямоугольный треугольник с катетами равными $L$ (рис. 1). Считайте размеры тигров много меньшими $L$ . Модуль скорости первого тигра $v_1=v$ , где $v$ — известная величина, а скорости второго и третьего тигров $v_2$ и $v_3$ таковы, что в процессе движения углы в треугольнике $ABC$ , образованном тиграми, остаются постоянными.

Рис. 1. Тигры: исходный треугольник ABC, координаты x/y и три направления скорости.

Введём систему координат так, как показано на рисунке. Начало координат совпадает с положением первого тигра в момент старта (точкой $A$ ).

При ответе на первые три вопроса считайте, что тигры не проскальзывают по поверхности и могут развивать любое усилие. Найдите:

1. время $t$ , через которое тигры встретятся;

2. модули скоростей второго и третьего тигров $v_2$ и $v_3$ ;

3. координаты $(x,y)$ точки, в которой тигры встретятся.

В действительности движение тигров ограничивается коэффициентом трения их лап о поверхность. Для каждого тигра он одинаков и равен $\mu$ . Ускорение свободного падения $g$ .

4. В течение какого времени $\tau$ с момента старта тигры могут поддерживать такое движение?

Решение

Поскольку углы в треугольнике, образованном тиграми, остаются постоянными, то в любой момент времени образованный тиграми треугольник подобен исходному. Из этого следует, что все тигры встретятся одновременно.

Найдем скорость изменения расстояния $AB$ . Так как модули скоростей тигров и углы между ними остаются постоянными, то искомая скорость равна $v_{AB}=v_1$ и она постоянна. Время до встречи первого и второго тигров равно $t=L/v$ .

Выразим скорости изменения расстояний $BC$ и $AC$ :

v_{BC}=v_2+\frac{v_3}{\sqrt2},\qquad v_{AC}=v_3+\frac{v_1}{\sqrt2}.

Поскольку углы в треугольнике $ABC$ остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника им пропорциональны:

\frac{v_{AB}}{AB}=\frac{v_{BC}}{BC}=\frac{v_{AC}}{AC}.

Найдём $v_{AC}$ :

\frac v L=\frac{v_3+\frac v{\sqrt2}}{L\sqrt2}\Rightarrow v_3=\frac v{\sqrt2}.

Теперь найдём $v_{BC}$ :

\frac v L=\frac{v_2+\frac v2}L\Rightarrow v_2=\frac v2.

Поскольку модуль скорости второго тигра всегда вдвое меньше модуля скорости первого тигра, а направления скоростей в любой момент взаимно перпендикулярны, то траектории их движения будут подобны друг другу с коэффициентом подобия 2:1. Отсюда следует, что вектора перемещения также будут взаимно перпендикулярны и отличаться по модулю в два раза.

Можно доказать это и строго математически. Рассмотрим малый момент времени $dt$ . Пусть угол между скоростью первого тигра и осью $x$ равен $\alpha$ , тогда угол между скоростью второго тигра и осью $x$ будет равен $\alpha+90^\circ$ . Запишем изменения координат тигров за малое время:

dx_1=v\cos\alpha\cdot dt,\qquad dy_1=v\sin\alpha\cdot dt,

dx_2=\frac v2\cos(\alpha+90^\circ)\cdot dt=-\frac v2\sin\alpha\cdot dt,

dy_2=\frac v2\sin(\alpha+90^\circ)=\frac v2\cos\alpha\cdot dt.

Из полученных уравнений видно, что для любого момента времени $dx_1=2dy_2$ , $dy_1=-2dx_2$ , это означает, что вектора полных перемещений также отличаются в два раза по модулю и взаимно перпендикулярны.

Поскольку тигры встретились: $\vec S_1=\overrightarrow{AB}+\vec S_2$ .

Тогда из прямоугольного треугольника находим:

(x_{\text{в}},y_{\text{в}})=(4L/5,2L/5).

Полный треугольник перемещений тигров, оси x/y, A/B, S1/S2, 4L/5 и 2L/5.

Величины ускорений тигров не должны превышать $\mu g$ , поскольку сила трения — единственная сила, действующая на них в горизонтальной плоскости.

Ускорения тигров имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей тигров вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости $\omega$ вращения треугольника в данный момент времени. Найдём её, рассматривая движение второго тигра относительно первого:

\omega=\frac{v_2}{AB}=\frac v{2AB},

тогда для ускорений получим: $a_1=\omega v_1$ , $a_2=\omega v_2$ , $a_3=\omega v_3$ .

Ускорение первого тигра $a_1$ всегда больше ускорений двух других, значит, он первым не сможет поддерживать данное движение. Для зависимости $a_1$ от времени $t$ получим:

a_1(t)=\frac{v^2}{2(L-vt)}\le\mu g,

откуда:

t\le\frac L v-\frac v{2\mu g}.

Проанализируем полученный ответ. При малых значениях коэффициента трения тигры не смогут даже начать такое движение, поэтому: $\tau=0$ при $\mu\le\frac{v^2}{2gL}$ , иначе: $\tau=\frac L v-\frac v{2\mu g}$ при $\mu>\frac{v^2}{2gL}$ .

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf