Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. Цилиндр и клапан

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

В торце теплоизолированного цилиндра с поршнем установлен клапан (рис. 2), перекрывающий небольшое отверстие, который открывается и начинает пропускать воздух снаружи в цилиндр при перепаде давлений $\Delta p=p_0/3$ ( $p_0$ — атмосферное давление). Воздух из цилиндра наружу клапан не пропускает. В начальный момент времени поршень прижат к торцу цилиндра, воздуха внутри нет.

Рис. 2. Исходный цилиндр с поршнем и клапаном K, входящий воздух p0/T0.

В первом случае цилиндр заполняют воздухом до объёма $V_0$ , медленно перемещая поршень, после чего останавливают, а затем освобождают поршень.

1. Определите температуру воздуха в цилиндре $T_1$ в момент остановки поршня при объёме $V_0$ , а также после освобождения поршня и прекращения его движения $T_2$ .

Во втором случае поршень резко перемещают в положение, при котором объём под поршнем равен $V_0$ , так что воздух не успевает проникнуть через клапан в цилиндр. В этом положении поршень фиксируют, дожидаются заполнения цилиндра воздухом, и так же, как в первом случае, освобождают поршень.

2. Определите и для этого случая температуру воздуха в цилиндре $T'_1$ после остановки поршня и заполнения цилиндра воздухом, и температуру $T'_2$ после освобождения поршня и прекращения его движения. Считайте, что при заполнении цилиндра воздухом процесс происходит квазистатически, клапан закрывается мгновенно после того, как разность давлений оказывается меньше пороговой.

Снаружи цилиндра воздух при атмосферном давлении и температуре $T_0$ . Трением поршня о стенки, массой поршня, а также теплообменом воздуха с поршнем и стенками цилиндра можно пренебречь. Воздух можно считать двухатомным идеальным газом. После отпускания поршня клапан всё время остаётся закрытым.

Решение

При заполнении цилиндра снаружи внутрь перемещается позиция воздуха объёма $V_1$ при атмосферном давлении и температуре $T_0$ (рис.1.)

Полный чертёж заполнения цилиндра: поршень, клапан K, порция V1 и внешнее p0.

Внутри воздух находится при давлении $p_0-\Delta p$ . Закон сохранения энергии для этой порции учетом работы сил атмосферного давления $A_{\text{внеш}1}=p_0V_1$ и работы газа внутри цилиндра при перемещении поршня $A_{\text{газ}1}=(p_0-\Delta p)V_0$ выглядит так:

\frac{5p_0V_1}2+p_0V_1-(p_0-\Delta p)V_0=\frac{5(p_0-\Delta p)V_0}2.

Отсюда:

V_1=\frac{p_0-\Delta p}{p_0}V_0=\frac{2V_0}3.

Из уравнения состояния можно определить температуру воздуха внутри цилиндра $T_1$ :

\frac{p_0V_1}{T_0}=\frac{(p_0-\Delta p)V_0}{T_1},

откуда

T_1=T_0.

Итак, температура воздуха в цилиндре после заполнения равна $T_0$ . После освобождения поршня он совершает колебания, которые затухают из-за вязкого трения в газе. Пусть после остановки поршня объём воздуха под ним равен $V_0-\Delta V_1$ . Работа внешнего давления над поршнем равна $p_0\Delta V_1$ . Закон сохранения энергии:

\frac{5(p_0-\Delta p)V_0}2+p_0\Delta V_1=\frac{5p_0(V_0-\Delta V_1)}2.

Отсюда:

\Delta V_1=\frac{5\Delta p}{7p_0}V_0=\frac{5V_0}{21}.

Из уравнения состояния

\frac{(p_0-\Delta p)V_0}{T_1}=\frac{p_0(V_0-\Delta V_1)}{T_2}.

Отсюда:

T_2=\frac{8T_0}7.

Отличие от первого случая состоит в том, что воздуха в цилиндре в процессе перемещения поршня нет и работа газа над поршнем $A_{\text{газ}2}$ равна нулю. Закон сохранения энергии

\frac{5p_0V_2}2+p_0V_2=\frac{5(p_0-\Delta p)V_0}2,

откуда:

V_2=\frac{5(p_0-\Delta p)}{7p_0}V_0=\frac{10V_0}{21}.

Здесь $V_2$ – объем порции газа, переходящий снаружи в цилиндр, при $p_0$ и $T_0$ . При использовании уравнения состояния получим

T_1'=\frac{(p_0-\Delta p)V_0}{p_0V_2},

или:

T_1'=\frac{7T_0}5.

После освобождения поршня аналогично первому случаю

\Delta V_2=\frac{5\Delta p}{7p_0}=\frac{5p_0}{21}.

Уравнение состояния дает:

T_2'=\frac{8T_1'}7,

откуда:

T_2'=\frac{8T_0}5

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf