Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. Две резинки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

На горизонтальной поверхности в точке $O$ удерживают шайбу массой $m$ , связанную с двумя невесомыми резинками, продетыми через зафиксированные на этой поверхности гладкие колечки $B$ и $C$ . Другие концы резинок закреплены в точках $A$ и $D$ , при этом $AB=CD=L$ , $BC=2L$ , $BO=CO=L\sqrt2$ (рис. 1). Длины обеих резинок в свободном состоянии равны $L$ , а коэффициенты жёсткости $k_{OBA}=k$ , $k_{OCD}=3k$ , где $k$ — известная величина. Коэффициент трения шайбы о поверхность равен $\mu$ , а резинки не касаются поверхности. Ускорение свободного падения $g$ . Шайбу отпускают.

Рис. 1. Полная геометрия резинок A/B/C/D/O и длины L, 2L и L√2.

1. Найдите максимальную скорость $v_{max}$ шайбы в процессе дальнейшего движения.

2. Определите время $\tau$ от момента старта до момента, когда максимальная скорость достигается.

Решение

Найдём равнодействующая сил упругости, действующих на шайбу при её произвольном положении. Обозначим положение шайбы точкой $P$ , середину отрезка $BC$ – точкой $E$ . Также обозначим векторы $\overrightarrow{EP}=\vec r$ , $\overrightarrow{EC}=\vec a$ (рис.1.)

Первый чертёж резинок: B/E/C/P, a, −a и r.

Тогда удлинения резинок равны длинам отрезков $BP$ и $CP$ , а равнодействующая сил упругости:

\vec F_{\text{упр}}=-k(\vec r+\vec a)-3k(\vec r-\vec a)=-4k\left(\vec r-\frac{\vec a}2\right)

Второй чертёж резинок: B/E/F/C/P, равнодействующая Fупр и пунктир к F.

Таким образом, равнодействующая сила всегда направлена к точке $F$ , являющейся серединой отрезка $EC$ (рис.2), и пропорциональна расстоянию до неё от точки $P$ с коэффициентом жёсткости $4k$ . Следовательно, всё движение шайбы будет происходить по прямой $OF$ , как если бы она находилась под воздействием пружины с коэффициентом жесткости $4k$ и имела положение равновесия в точке $F$ .

Задача свелась к исследованию движения по прямой в присутствии сухого трения. Длина отрезка $OF$ равна $l_0=\frac{L\sqrt5}2$ , начальное значение силы упругости $F_0=2\sqrt5kL$ . Если максимальная сила трения покоя превышает её, то есть $\mu mg>2\sqrt5kL$ - шайба не начнет движение, и её скорость останется равной 0. В противном случае шайба придет в движение, для описания которого введем ось $x$ с началом в точке $F$ , направленную к точке $O$ . Уравнение движения шайбы от момента начала движения до момента первой остановки шайбы:

ma_x=-4kx+\mu mg

заменой $x'=x-\frac{\mu mg}{4k}$ приводится к уравнению гармонических колебаний

ma_x'=-4kx'

с нулевой начальной скоростью и начальным отклонением от «смещенного» положения равновесия $l_1=l_0-\frac{\mu mg}{4k}$ . Тогда ясно, что максимальная скорость шайбы достигается при прохождении «смещенного» положения равновесия и определяется из закона сохранения энергии:

\frac{mv_{max}^2}2=\frac{4kl_1^2}2\Rightarrow v_{max}=2l_1\sqrt{\frac k m}=\sqrt{\frac{5k}m}L-\frac{\mu g}2\sqrt{\frac m k}.

После этого момента времени скорость шайбы будет уменьшаться вплоть до остановки, после которой нам снова нужно будет сравнивать силу упругости пружины с максимальной величиной силы трения (чтобы выяснить, начнется ли возвратное движение шайбы). Но в любом случае, поскольку механическая энергия системы убывает за счет работы силы трения, максимумы скорости на новых полупериодах движения будут меньше уже найденного.

Как было показано при решении первого пункта, при $\mu mg<2\sqrt5kL$ максимальная скорость движения шайбы достигается в её положении равновесия, т.е через четверть периода колебаний $T=2\pi\sqrt{\frac m{4k}}$ после старта. При $\mu mg\ge2\sqrt5kL$ - движение не начнётся.

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf