ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. Автобус

Решение в СО дороги:

Для того чтобы выполнялось условие минимальности времени, Настя:

а) должна двигаться прямолинейно, т.к. в противном случае, у нее появилась бы возможность за то же время оказаться на дороге ближе к остановке, чем при криволинейном движении

б) не должна ждать автобуса на дороге, следовательно девочка и автобус достигают точки встречи одновременно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $l$: $\cos\alpha=\frac{\sqrt{l^2-s^2}}l$ (см. рисунок). Запишем теорему косинусов:

Подставив косинус в уравнение получим:

Решение в СО автобуса:

В системе отсчета автобуса точка из которой начала движение девочка за время $t$ смещается параллельно дороге на расстояние $at^2/2$. За это время Настя может удалиться от этой точки на расстояние $vt$. Покажем эти перемещения на рисунке. Геометрическое место точек, в которых может оказаться девочка, имеет вид окружности. Минимальное время $t=\tau$ соответствует касанию окружности автобуса.

Обозначим начальное расстояние вдоль дороги между автобусом и Настей за $L$. Дважды запишем теорему Пифагора: $L^2=l^2-s^2$ и $(v\tau)^2=(L-a\tau^2/2)^2+s^2$.

«Баллистическое» решение

Можно воспользоваться методом аналогий. Равноускоренное движение девочки в системе отсчета автобуса эквивалентно движению тела, брошенного со скоростью $v$ в поле однородной гравитации с ускорением свободного падения $a$. См. рисунок.

Тогда задача сводится к поиску времени движения тела с заданными начальной скоростью и ускорением в точку, находящуюся на расстоянии $s$ по горизонтали и $\sqrt{l^2-s^2}$ по вертикали. Минимальное время достигается при движении по «настильной» траектории. При таком подходе интуитивно понятным становится ОДЗ — не при любой начальной скорости тело сможет долететь до заданной точки.

Решая биквадратное уравнение относительно времени, получим:

Видно, что подкоренное выражение всегда положительное, т.к.

Выбираем меньший из двух корней из соображений минимальности времени. Чтобы решение существовало, выражение под внутренним корнем должно быть положительным: $v^4+2v^2La-a^2s^2>0$, иначе Настя не успеет даже добежать до дороги, по которой пронесется автобус, быстро набравший большую скорость.