Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. Черепахи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

Три черепахи, движущиеся с постоянными по модулю скоростями и все время поддерживающие курс одна на другую, в момент запуска секундомера находились в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами длиной $l$ (рис. 2). Скорость первой черепахи $v_1=v$ , где $v$ — известная величина, а скорости второй и третьей черепах $v_2$ и $v_3$ таковы, что в процессе их движения углы в треугольнике, образованном черепахами, не изменяются. Найдите:

Рис. 2. Черепахи: полный треугольник ABC, оба катета l и направления v1, v2, v3.

1. время $t$ , через которое черепахи встретятся;

2. модули скоростей $v_2$ и $v_3$ второй и третьей черепах;

3. ускорения черепах в начальный момент времени;

4. на каком расстоянии $s$ от места старта первой черепахи произойдет их встреча.

Решение

Поскольку скорости черепах все время направлены от одной черепахи к другой и постоянны по модулю, расстояния между каждой из них уменьшаются с постоянными скоростями. Обозначим скорости изменения расстояний $AB$ , $BC$ и $AC$ за $v_{AB}$ , $v_{BC}$ и $v_{AC}$ . Они равны:

v_{AB}=v_1=v,\quad v_{BC}=v_2+\frac{v_3}{\sqrt2},\quad v_{AC}=v_3+\frac{v_1}{\sqrt2}.

Откуда находим:

t=\frac l v.

Поскольку углы в треугольнике $ABC$ остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника пропорциональны их длинам:

\frac{v_{AB}}{AB}=\frac{v_{BC}}{BC}=\frac{v_{AC}}{AC}

Найдём $v_3$ :

\frac v l=\frac{\frac v{\sqrt2}+v_3}{L\sqrt2}\to v_3=\frac v{\sqrt2}.

Аналогично находим $v_2$ :

\frac v l=\frac{v_2+v/2}l\to v_2=v/2.

Ускорения черепах имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей черепах вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости $\omega$ вращения треугольника. Найдём эту угловую скорость, рассматривая движение второй черепахи относительно первой:

\omega=\frac{v_2}{AB}=\frac v{2AB}.

В начальный момент она равна:

\omega_0=\frac v{2l}

Тогда для ускорений в начальный момент получим:

a_1=\omega_0v_1;\quad a_2=\omega_0v_2;\quad a_3=\omega_0v_3.

Откуда:

a_1=\frac{v^2}{2l};\quad a_2=\frac{v^2}{4l};\quad a_3=\frac{v^2}{2\sqrt2l}.

Поскольку модуль вектора скорости второй черепахи всегда вдвое меньше модуля скорости первой черепахи, а направления их скоростей взаимно перпендикулярны, таким же будет соотношение между векторами их перемещений $\vec s_1$ и $\vec s_2$ . Так как черепахи встретились:

\vec s_1=\overrightarrow{AB}+\vec s_2.

Полный треугольник перемещений черепах, A/B, s1/s2, 4l/5 и 2l/5.

Применив теорему Пифагора для прямоугольного треугольника найдём:

s=s_1=\frac{2l}{\sqrt5}.

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf